8cosAcosBcosC＝１ → cos2A+cos2B+cos2C=?

質問

△ABCの３つの角をA,B,Cとし、それらの対辺の長さをそれぞれa,b,cとする。8cosAcosBcosC＝１が成り立つとき
cos2A+cos2B+cos2Cの値を求め
△ABCの外接円の半径をa,b,cを用いて表せ

この問題を解こうと思っているのですが全く手も足も出なくて困ってます。２倍角や半角などの三角関数の公式や関係式にあてはめて式変形してみたのですが全然まとまりませんでした。
回答をいただけたら助かります。よろしくお願いします

回答No.2

rtz · ベストアンサー

cos2A+cos2B+cos2C
=2(cosA)^2+2(cosB)^2+2(cosC)^2-3
=2(cosA)^2+2(cosB)^2+2{cos(180°-A-B)}^2-3
=2(cosA)^2+2(cosB)^2+2{-cos(A+B)}^2-3
=2(cosA)^2+2(cosB)^2+2(-cosAcosB+sinAsinB)^2-3
=2(cosA)^2+2(cosB)^2+2(cosA)^2(cosB)^2+2(sinA)^2(sinB)^2-4cosAcosBsinAsinB-3
=2(cosA)^2+2(cosB)^2+2(cosA)^2(cosB)^2+2{1-(cosA)^2}{1-(cosB)^2}-4cosAcosBsinAsinB-3
=4(cosA)^2(cosB)^2-4cosAcosBsinAsinB-1
=4cosAcosB(cosAcosB-sinAsinB)-1
=4cosAcosBcos(A+B)-1
=-4cosAcosBcos(180°-A-B)-1
=-4cosAcosBcosC-1
=-4*(1/8)-1
=-3/2

外接円の半径をRとして、
cos2A+cos2B+cos2C=-3/2
⇔3-2(sinA)^2-2(sinB)^2-2(sinC)^2=-3/2
⇔(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=9/4
⇔(a/2R)^2+(b/2R)^2+(c/2R)^2=9/4
⇔(a^2+b^2+c^2)/4R^2=9/4
⇔R^2=(a^2+b^2+c^2)/9
⇔R={√(a^2+b^2+c^2)}/3

というかこういう問題は割と頑張って力押ししてみると、意外と見えてきたりする。

回答No.3

debut

cosC=cos(π-(A+B))=-cos(A+B)だから、
8cosAcosBcosC
=-8cosAcosBcos(A+B)
（加法定理）
=-8cosAcosB(cosAcosB-sinAsinB)
=-8cos^2Acos^2B+8sinAsinBcosAcosB
（倍角）
=-2(cos2A+1)(cos2B+1)+2sin2Asin2B
（積和）
=-2(cos2A+1)(cos2B+1)-{cos(2A+2B)-cos(2A-2B)}
=-2cos2Acos2B-2cos2A-2cos2B-2-cos(2A+2B)+cos(2A-2B)
（積和）
=-cos(2A+2B)-cos(2A-2B)-2cos2A-2cos2B-2-cos(2A+2B)+cos(2A-2B)
=-2cos2A-2cos2B-2cos(2A+2B)-2
cos(2A+2B)=cos(2π-2C)=cos2Cなので、
-2cos2A-2cos2B-2cos2C-2=1

思いつきで書いたので、もっとスマートにいくと思い
ますが・・・

お礼

３人の方々回答ありがとうございました。
本当に助かりました

回答No.1

N64

とりあえず、正三角形なら、8cosAcosBcosC＝１が成り立ちます。
あとは、他にあるかどうかを調べてみてはいかがでしょう。