おなじみの0^0ですが、定義されないときと１と定義されるとき

質問

おなじみの0^0ですが、初歩的な議論は理解してます。

フランス語のウィキなどで、
0^0 n'est pas défini (c'est une forme indéterminée du calcul des limites), mais il est souvent « pratique », dans certains cadres formels, de considérer que 0^0=1 .

英文に翻訳すると、
0^0 are not defined (it is an indeterminate shape of the calculation of the limits), but it is often " convenient", in some formal settings, to consider that 0^0=1.

日本語に翻訳すると、
0^0は一般には定義されないが、0^0=1とするとしばしば「便利」。

そこで、「便利」という観点から、定義されないときと１と定義されるときはどのようなときか教えていただきたいです。

一般には定義されないのは知識として知ってますが、
なぜなのでしょうか？
極限の観点からはうまく定義できないのは知っていますが、そもそも極限はそんなに重要ではないと思うのですが。

ちなみに、正数の正数乗も、実数の観点と複素数の観点からは、定義が異なる場合もあると思います。

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

多項式を考えるときには 0^0 = 1 と定義すると便利. 定数項も含めてベキの形で書けるから.

お礼

ありがとうございます。僕もそう思います。

回答No.3

okyum

＞極限の観点からはうまく定義できないのは知っていますが、そもそも極限はそんなに重要ではないと思うのですが。

実数の実数乗（例えばa^b）自体が極限を使って定義されるからです。
例えば、2^(√2)は、
2^1
2^(1.4)
2^(1.41)
...

が収束する極限値として定義されます。

お礼

実数自体が極限の性質を含んでいるので、実数乗は極限で定義されるのは自然です。

ただ、無理数はそうですが、有理数はもっと代数的に構成されます。

０は有理数なので、０乗も代数的に考えるべきだと思います。

もちろん、極限で考えるメリットもありますが。

回答No.2

kimkat

例えば情報エントロピーの式ではx_i log x_iの形の和が出てきますが、x_i=0のときは0と定義します。
（0log0=log0^0なので、0^0=1と定義してるのと同じこと）

なぜなら、その分野ではそう定義したほうが都合がいいからです。

などなど、使う人の立場によって都合よく定義します。「数学的に正しい定義」というのはないと思います。