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多次元の行列式の幾何学的意味
２次元正方行列の行列式（の絶対値）は、それの要素であるベクトルが張る平行四辺形の面積。３次元正方行列の行列式は、同様に平行六面体の体積。と、ここまでは多くの線形代数の教科書に出ているのですが、４次元以上でも、行列式は同様に平行な多面体領域の体積をあらわすのでしょうか？このような話題が解説されている書籍を教えて頂けると助かります。
- doumotokouichi
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その通りです. 大雑把に説明すると, こんな感じかな? 行列式を求めるときに掃き出し法のような感じで三角行列に変形することが多いわけですが, これはさらに進めて対角行列にすることができます. ここまでの処理は, 図形的には「体積が変化しないように全ての辺を直交させる」ことに対応します. つまり, 「直方体のこんにゃくの 1頂点を押して平行六面体にする」ことの逆. で, 直方体なら「体積は 3辺の長さの積」 (高次元でも同じ) ですが, これが「対角行列の行列式は対角成分の積」に対応します. ついでにいうと, 積分のときの変数変換で行列式 (ヤコビアン) が出てくる理由もこれ.
お礼
ありがとうございます．一般の教科書では３次元までしか解説されておらず困っていたのですが，対角行列をキーワードに調べてみます．