[至急]幾何学の以下の問題について教えて下さい。

質問

平面R^2を2つ用意し、Π1、Π2とする。
φ:Π1-{(0、0)} → Π2-{(0、0)}を
φ(x、y)=(x/(x^2+y^2)、y/(x^2+y^2))
で定義する。
このφを用いて2平面を貼り合わせることで出来る多様体をMとする。
M中のΠ1の像をU1、Π2の像をU2とし、
この構成から自然に定まるU1からΠ1への写像をμ1、U2からΠ2への写像をμ2とする。
これについて以下に答えよ。

(1)写像φによりΠ1の円はΠ2の円にうつることを示せ。
(ただし、直線も円の一種と考えることとする。)

(2)μ1(m)=(1、0)となるMの点mに対し、μ2(m)は何か。

(3)(2)の点mでの接空間をMmとする。
Mmは(Π1)_μ1(m)、(Π2)_μ2(m)と同型な2次元のベクトル空間である。
(Π1)_μ1(m)の接ベクトルd/dx、d/dyに対応するMmの接ベクトルをe1、e2とする時、
e1、e2に対応する(Π2)_μ2(m)の接ベクトルを求めよ。

(ヒント)(Π1)_μ1(m)の接ベクトルd/dx、d/dyは、
Π1上の曲線γ1(t)=(t-1、0)、γ2(t)=(1、t)のt=0での接ベクトルなので、
γ1、γ2のΠ2での像を調べて、そのμ2(m)での接ベクトルを対応させれば良い。

(4)Π1の原点と異なる点(x、y)に対応するMの点mでの接空間をMmとする。
(Π1)_μ1(m)の接ベクトルd/dx、d/dyに対応するMmの接ベクトルをe1、e2とする時、
e1、e2に対応する(Π2)_μ2(m)の接ベクトルを求めよ。

回答No.2

noname#199771

＞以前テストの問題で出題されたものを記載した為、恐らく誤植は
＞無いと思います。

間違っているので誤植と書いたのですが、誤植はないとおっしゃる
のですね？

それならば、解答用紙には「問題に不備があるので解答不能。」
と書けばよいです。

＞その他について教えて

質問者さんが書かれたヒントの通り（ただし誤植を訂正すること
が必要）に処理すればいいです。やっていることは実質高校2年
程度の数学なので、あまり細かく書きたくありません。

ξ=x/(x^2+y^2),η=y/(x^2+y^2)のときξ^2+η^2=1/(x^2+y^2)
より、x=ξ(ξ^2+η^2),y=η(ξ^2+η^2)

であることを使って、μ2(γ1(t)),μ2(γ2(t))を導き、そこから
接ベクトルを計算してください。

回答No.1

noname#199771

(1)は丁寧に計算してください。
(2)は明らかでは？
(3)はヒントに沿って素直に。
(4)は(3)をヒントに。

文中、誤植がいくつかありますのでまずその確認をしましょう。

専門課程の方のようですが、接ベクトルの理解をためす練習
問題にみえますので、自力でやらないともったいないですよ。

お礼

ご回答して頂きありがとうございます。
以前テストの問題で出題されたものを記載した為、恐らく誤植は無いと思います。
また(2)は(1、0)になると思うのですが、もし宜しければその他について教えて頂けませんでしょうか。何卒よろしくお願い致します。