慣性モーメント

質問

類似の質問がありませんでしたので質問させていただきます。

半径ｒの円盤について、回転軸が板面に平行なものの慣性モーメントの求め方がわかりません。
どのようにしたらよいのでしょうか。
よろしくお願いします。

回答No.1

noname#21219 · ベストアンサー

垂直軸の定理をご存知でしょうか。
Iz=Ix＋Iyというものです。
z軸の周りの慣性モーメントは1/2Ma^2 M:質量a:半径

です。また対称性によりIx=Iyです。Iz=1/2Ma^2より
よってIx=1/2Iz=1/4Ma^2

この定理の証明は
Iz=∫σ(x^2＋y^2)dxdy=Ix＋Iy=(∫σr^2dxdy=∫σr^2(rdrdθ)=∫σr^3dr∫dθ=σ(1/4)a^4・2π=(πa^2σ)a^2/2
=1/2Ma^2

直接強引に求めることも可能です。
Ix=∫σy^2dxdy=∫σ(rsinθ)^2rdrdθ
=σ∫r^3dr∫sin^2θdθ=σ(1/4)a^4∫1-cos2θ)dθ/2
=(1/4)Ma^2

なお、dxdy=rdrdθ、M=σ(πa^2) です。