多変数関数の局所近似の問題です

質問

【問題文】
滑らかなｐ変数関数 f(x)=f(x1,...,xp) のグラフ z=f(x) を、点 x=a の近傍で、
(p+1)次元ユークリッド空間の２次曲面 L:z=q(x) で近似することを考える。
ただし、q(x) は p変数２次関数である。

いま、y=x-a なる変数変換を行って、Lを表す y に関する方程式 z=r(y) を求めるとする。
このときの、r(y) の
(1)２次の項（斉２次項）　(2)１次項　　(3)定数項
はどのように表すことができるか。

ただし、関数 f(x) の傾斜（勾配）ベクトルを g(x)=grad f(x) で、ヘッセ行列を H(x) で
表すものとする。

(1)、(2)、(3)　ご教授お願いします。

回答No.2

noname#101087

長くなるので書き込みは蒙御免。
これを参照してください。
　　↓
http://www.ne.jp/asahi/search-center/internationalrelation/mathWeb/Differentiation/TheoremsDffrntl2VarFnctn/TaylorTheorem.htm#TaylorTheorem3
>定理：2変数関数の3階のテイラーの定理・2次近似多項式

回答No.1

noname#101087

一変数の
　f(x + h) = f(x) + f'(x)(h) + (1/2)(h)f"(x)(h)
の拡張でいけませんでしょうか。

試行したわけじゃありませんが、予想だけでも。
　f(x + h) = f(x) + {grad f(x)}(h) + (1/2)(h~)H(x)(h)
　(h~ は h の転置)

お礼

ありがとうございます。
参考にさせていただきます。