2変数関数について・・・？

質問

2変数関数のz = f(x,y) = x^2 / (x^2 + y^2)の
f(x,y),fx,fy,fxx,fxy,fyx,fyy、はどうなるのでしょうか？

回答No.3

oshiete_goo · ベストアンサー

#2の者です.
＞f(x,y) = x^2 /(x^2 + y^2)=1- {y^2 /(x^2 + y^2)}
xによる偏微分があるので最右辺のような書き換えをしましたが，素直にそのまま『商の微分法』の公式に従って微分しても今の場合はfxはほとんど変わりませんでした．
参考までに，
fx={2x(x^2+y^2)-x^2・2x}/(x^2+y^2)^2=2xy^2/(x^2+y^2)^2
です．以下，試算した結果のみ書くと
fy=-2x^2y/(x^2+y^2)^2
fxx=-2y^2(3x^2-y^2)/(x^2+y^2)^3
fxy=fyx=4xy(x^2-y^2)/(x^2+y^2)^3
fyy=2x^2(-x^2+3y^2)/(x^2+y^2)^3
となりそうです．
筆者の計算間違いやミスタイプの可能性もあるので，検算してみて下さい．

なお，一般にはfxy≠fyxですが，
『ある領域内のいたるところでfx,fy,fxyが存在し,かつ連続ならばその領域内でfyxも存在して　fxy=fyx』(Schwarzの定理)
があります．

回答No.2

oshiete_goo

偏導関数の話ですね.
書式の注意ですが,
一般に, fxyは関数fをまず(yを定数と見て)xで偏微分し，それをさらに(xを定数と見て)yで偏微分したもので，偏微分の記号を使った場合と順序が逆になって

fxy=(∂^2／∂y∂x)f=∂^2 f／∂y∂x=(∂／∂y)(∂／∂x)f=(∂／∂y)(∂f／∂x)
です．例えばfxyzはまずxで，次yで，さらにzで偏微分です．要するにどちらもfに近いほうから順に作用させるものと理解していますが，お手持ちの本の定義と食い違ってないか確認しておいてください．
少し待っていれば，誤りがあったら誰かが訂正してくださるでしょう．

そうすると
f(x,y) = x^2 /(x^2 + y^2)=1- {y^2 /(x^2 + y^2)}
とも書けることより
例えば(1/u)'=-(1/u^2)u'=-u'/u^2 などを利用して
fx=(∂／∂x)f=(∂／∂x){1- y^2/(x^2 + y^2)}=0-{-y^2/(x^2 + y^2)^2}・2x=2xy^2/(x^2 + y^2)^2
fxyはこれをさらにyで偏微分する．
以下
fy=(∂／∂y)f=(∂／∂y){x^2/(x^2 + y^2)}=-2x^2・y/(x^2 + y^2)^2
などとなるはずですが，結果は保証できませんのでご自分でお確かめ下さい．

回答No.1

acacia7

f(x,y),fx,fy,fxx,fxy,fyx,fyyがそれぞれ何を意図しているのか不明です。

ｆｘって・・もしかしてｆのｘによる微分とか？・・・

補足

はい、そうです。fxとはｆの式をｘについて微分したもので、fyはとはｆの式をｙについて微分したもので以下同様なんですけど・・・・。
なんか書き方がおかしくご迷惑かけました。
すいません。