微分方程式の解法について…

質問

X^2(y")＋(y')^2＝0
初期条件がX＝1において、y＝0,y'＝1
この問題の解法に苦戦しております。
解析学の基礎レベルなのかもしれませんが、限りなく初心者に近いためシビアです。初期条件を用いるとまずそれぞれ値を代入してｙ"＋1＝0を解けばよいのでしょうが(?)、先に進みません。参考にさせていただきたいので是非とも教えていただきたいです。

回答No.1

endlessriver · ベストアンサー

＞初期条件を用いるとまずそれぞれ値を代入してｙ"＋1＝0を解けばよいのでしょうが(?)
すると初期条件のx=1におけるy''(x)の値が求まるだけで方程式の解法にはなりません。

z=ｙ’とおいてzの微分方程式にすれば次数が減り、変数分離で解けるようです。

お礼

ありがとうございました。これより先の変数分離以降は手を動かして解いてみました。確かにスムーズに解答に至りますね。演習不足を痛感しましたので、典型問題ばかりでなく、さまざまなパターンのものをこなしていこうと思いました。

回答No.2

noname#21219

y'=vとおきます。
x^2v'＋v^2=0⇒x^2(dv/dx)＋v^2=0
⇒x^2(dv/dx)=-v^2⇒dv/v^2=-dx/x^2
これを両辺積分します。
-1/v=1/x＋C C:積分定数
x=1において、y'=v=1より
C=-2

∴-1/v=1/x-2
⇔-v=x/(1-2x)⇔-dy/dx=x/(1-2x)
これを積分すると
-y=∫-1/2＋1/2(1-2x)dx=-x/2-1/4log｜1-2x｜＋D
初期条件より、0=-1/2＋D
∴y=x/2＋(1/4)log｜1-2x｜-1/2

お礼

ありがとうございました。大いに参考になりました。確かにｙ'＝uみたく置換すれば変数分離形が可能で解けるというのがよく分かりました。学部生の間にもっと演習を積んで克服していきたいと思います。