解法教えて下さい

質問

この問題がわかりません。
どなたか解法を教えて下さい。
数学IIの分野です。

×>0、y>0かつx二乗+y二乗=1の
とき、2x+yの最大にするx、yの値とその最大値を求めよ

回答No.2

gohtraw · ベストアンサー

x>0,y>0,x^2+y^2=1 という条件を満たすのは、
原点を中心とする半径１の円周のうち第一象限にある部分です。

２ｘ＋ｙ＝ｋ　とおくと、この式は　ｙ＝－２ｘ＋ｋ　と書きかえることができ、
これは傾きー２の直線で、そのｙ切片がｋです。

ｋの最大値を求めるということは、直線ｙ＝－２ｘ＋ｋが上記の円周と
共有点を持ちつつ色々動いたときにｙ切片が最大になる点を探すこと
に他なりません。そしてそれはこの直線が上記の円に接する時です。

直線の傾きがー２なのだから、直線と円の接点を通る半径の傾きは
１／２であり、接点においてｙ＝ｘ／２ということです。

そこでｘ＾２＋ｙ＾２＝１にｙ＝ｘ／２を代入すると
５ｘ＾２／４＝１
ｘ＝±２／√５＝±２√５／５
ｙ＝±√５／５
ただしｘ＞０、ｙ＞０なのでｘ＝２√５／５、ｙ＝√５／５
これらをｋ＝２ｘ＋ｙに代入するとｋ＝√５

お礼

ありがとうございます！

回答No.1

noname#205754

合ってるか分かりませんが、一応解いてみました。

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