立方数と立方数の間には平方数が『必ず』存在するか

質問

立方数と立方数の間には平方数が少なくとも一個存在するかというのが疑問です。

ある立方数Xを考えたときに、それよりちょこっと小さい平方数を考えます。
その時に、その平方数の次に大きい平方数が
立方数と立方数の間の幅、３N＾２＋３N＋１を飛び越えられるかというのが問題です。

平方数の頻度のほうが立方数の頻度より高いので、
平方数は立方数と次の立方数の間にあるとは思うのですが、
大きい数ではわかりません。

平方数と四乗数であるならば、話は別です。
四乗数は平方数か平方数ではないものかです。
平方数である四乗数と次の平方数である四乗数の間には、必ず平方数でない四乗数があります。
平方数でない四乗数が続くことはありません。
あれ、すこし怪しくなってきたぞ。

四乗数と四乗数の間に立方数が必ず存在するかというのも問題です。
ｎ乗数とｎ乗数の間にｍ乗数があるかどうか、これが一般化した形です。

回答よろしくお願いします。

回答No.4

nag0720 · ベストアンサー

N^3<M^2<(N+1)^3
N^(3/2)<M<(N+1)^(3/2)
だから、
F(N)=(N+1)^(3/2)-N^(3/2)　とおけば、
F(1)>1で、F(N)は単調増加関数だから、F(N)>1　となり、
N^(3/2)<M<(N+1)^(3/2)　となるMは必ず存在する。

一般化して、
F(N)=(N+1)^(n/m)-N^(n/m)　としても同様。

お礼

回答ありがとうございます。

補足

立方数と立方数の間には素数が少なくとも一個存在するでしょうか。これが本当に知りたいことでした。素数を表示する式というものが書けないので、難しいと思うのですが、いかがでしょう。

回答No.3

Tacosan

本題を考えると, 「立方数と立方数の間には平方数が少なくとも一個存在する」のは簡単に証明できる. まっすぐいくだけ.

一般化は... たぶん面倒くさそうなだけで, やることは単純だと思う.

補足

それでは、立方数と立方数の間には平方数が少なくとも”二個”存在する、というのはどうでしょうか？
１と８の間には４しかありませんが、それを除けば、二個ある可能性があると思うですが、どうでしょうか？

回答No.2

asuncion

＞平方数である四乗数と次の平方数である四乗数の間には、必ず平方数でない四乗数があります。

#1さんに激しく同意。
n^4 = (n^2)^2
なので、すべての4乗数は平方数です。
平方数でない4乗数は、存在しません。

補足

すみません。間違えました。おっしゃっていることはそのとおりです。
四乗数でない平方数というつもりでした。申し訳ない。

回答No.1

Tacosan

「平方数でない四乗数」ってあったっけ?

補足

四乗数でない平方数でした。間違えました。