横置き円筒形の容器内の液体の重心を計算したい

質問

ドラム缶のような円筒形の容器を水平に横に置いてその中に溜まる液体の重心を求める計算式を教えて下さい。
縦横は対象なので問題なのは高さ（深さ）ですよね。
なんとなく積分したら出来そうだと思われるのですが積分そのものが何者だったかすっかり忘れています。
半径をｒ、液の高さをｈとするとｒ＞ｈ、ｒ＝ｈ、ｒ＜ｈの３つの場合で式が変わってくるような気もしますね。
簡潔な計算式を教えて下さい。よろしくお願いします。

回答No.2

noname#21219 · ベストアンサー

まともに計算しようとすると、けっこう大変なことになります。基本的には、置換積分でいけるのですが
条件が『高さh』としか与えられてないと、式が複雑になります。√{r^2-(r-z)^2}の(r-z)^2は(z-r)^2と置いても変わらないので、そう置きます。
次に(z-r)=tとおきます。積分範囲が、z=0～hに対応し
t=-r～h-rになります。

式を書くと∫2zσ√{r^2-(r-z)^2}dz
=∫2(t＋r)√(r^2-t^2)dt[t=-r～h-r]となります。

ここで、第一項の計算は、t^2=xと置けば計算できます。第２項は、t=rsinθと置けば一応計算可能です。

結果だけ書くと、重心の高さは
b=rー2/3・{r^2-(h-r)^2}^3/2・(1/r^2)×
1/[sin^-1(h-r)/r＋π/2＋(h-r)/r√{1-(h-r/r)^2}]
という、複雑な式になりました。仮に、h=r,つまり液体が丁度半分の高さまで溜まっているときには、
上の式にh=rを代入し、b=r(1-4/3π)という値になりました。

お礼

sky_fire様
再びの回答ありがとうございます。
朝から教えていただいた式でいろいろやってみたのですが
どうもうまくいきません。
いろいろ考えて
b=r-2/3・{r^2-(h-r)^2}^3/2×
1/[r^2・{sin^-1(h-r)/r＋π/2}＋(h-r)・r√{1-(h-r/r)^2}]
としたらうまくいきました。
２行目は「扇形の面積+三角形の面積」（の逆数）ですよね。
なぜこうしたら良いのかは判りませんが
とりあえずこれで正解のようです。
いろいろありがとうございました。

回答No.1

noname#21219

ドラム缶を転がすような状態で置くのですよね。

重心は、仰るようにx,y(水平面上)方向では対称ですから、重心のx,y座標は0です。中央です。

高さの重心を求めるということになります。ドラム缶
の断面は、円柱の断面ですが、その断面のみ考える
といいでしょう。断面は円ですよね。

重心の高さをb,液面の高さh、円の半径rとします。
円の底から液体が溜まっていくわけですが、
重心の高さを求めるには、面密度σとして円を横に細く
切っていたものの面積にzとσをかけたものを、底から
液面まで積分して、それを円に収まっている液体の総質量Mで割ります。底からの高さzとして

b=∫σ・zdz・2√{r^2-(r-z)^2}(1/M)
=1/M・∫2zσ√(-z^2＋2rz)dz[z=0～h]

なお、M=∫2σ√(-z^2＋2rz)dz[z=0～h]です。

σは、後で体積密度ρに変換すればいいです。
ML=ρV (L=ドラム缶の長さ、V=液体の体積)

お礼

sky_fire様
ご回答ありがとうございます。
何となくわかるような気がするのですがご回答の式で
実際に積分して答えをだすのは私には不可能です。
積分のところを計算してインテグラのない簡潔な
中学生レベルの式にはならないのでしょうか。
よろしくお願いします。