数１ 正弦定理、余弦定理について

質問

a＝√6、b＝2√3、c＝3+√3のとき、A、B、Cを求めよ。

この問題で余弦定理を使う事は分かりました。分母に3+√3がくるのが厄介なので(後で約分できること知らなかった)Cから求めたらcosC＝√2+√6/4となり、Cが求められませんでした。
素直にAを求めていたらcosA＝√3/2で求められました。
これは見たら、これは求められないな。とか、分かるものなのでしょうか？
普通、Aから求めれば解けるようになっているのでしょうか。

回答No.3

info222_ · ベストアンサー

>a＝√6、b＝2√3、c＝3+√3
a<b<c なので A<B<C
小さな角から求める
cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=(12+12+6√3-6)/12(√3+1)=(3+√3)/2(√3+1)=√3/2
A=30°
cosB=(c^2+a^2-b^2)/(2ac)=(12+6√3+6-12)/(6√2(√3+1))=1/√2
B=45°, C=(180-30-45)° =105°

[検算]
cos105°=cos(60°+45°)=cos60°cos45°-sin60°sin45°=(1/2)(√2/2)-(√3/2)(√2/2)= -(√6-√2)/4
cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=(6+12-(12+6√3))/12√2=(1-√3)/2√2= -(√6-√2))/4
故に, C=105° で合っている。

回答No.5

noname#223031

質問のタイトル中に、せっかく正弦定理とあるのだから、正弦定理も用いましょう。
正弦定理から、
√6/sinA=2√3/sinB=(3+√3)/sinC
この式において、それぞれの分子を比較した結果から、それぞれの分母であるsinCよりもsinAとsinBの方がすっきりとした数値になる、つまり∠Ａまたは∠Bについて余弦定理を用いた方が簡単なのではないかと予想できます。
そして、計算は省略しますが、cosA=√3/2であるから∠A=30°
また、正弦定理に戻って、
√6/sin30°=2√3/sinBから、sinB=1/√2
2√3＜3+√3であるから、sinB＜sinC
よって、∠Ｂ=45°、∠C=180-30-45=105°
なお、∠Ｂ=180-45=135°とすると、∠Ｃ=180-30-135=15°となって、
sinC＜sinBとなってしまいます。
また、それぞれの角度が正しいかどうかは、図を描けば簡単に確認できます。

回答No.4

nihonsumire

知ってなきゃいけないとは、受験生も大変ですね。Cが求められなくても、私ならA,Bと求めてみますね。余力があれば考えますが、テストの時などはA,Bとかを計算した方がいいですよね。

回答No.2

asuncion

＞普通、Aから求めれば解けるようになっているのでしょうか。

それは問題によるでしょう。
例えば、
a = 3 + √3, b = 2√3, c = √6のとき、A, B, Cを求めよ。
という問題のときにAから求めようとすると
cosA = (√2 + √6) / 4
となって、cos15° = (√2 + √6) / 4を知らないとどつぼにはまってしまう気がします。

回答No.1

tmppassenger

正直、sin(75°) = cos(15°）= (√2+√6/) / 4程度は常識として知っておいてほしい気はする。加法定理を使ってすぐ確認できますよね。