１＋１＝２の証明って？

質問

１＋１＝２であることを証明できると聞きましたが
どうやってやるんですか？
虚数を使うとか何とかって言ってたような

回答No.18

stomachman

No.l8のDASSさんのコメント、またしてもポイントを突かれちゃいましたね。大切な部分です。
こんどは "=" についての考察でしょう。

　x=y とは何を言っているのか。これは実は「一階述語論理」の範疇を少し越えているのです。つまり "="の公理というのはちょっくら胡散臭い。それはこういうものです。
「xを含みyを含まない任意の命題A(x)において、xをすべてyに書き換えて得られる命題をA(y)とするとき、x = y　とは どんなAを持ってきても、A(x)が成り立つこととA(y)が成り立つ事が同値である（一方が真なら他方も真、一方が偽なら他方も偽である。）ということを表す。」
　つまり、どんなAについても、xとyは同じ性質を示すということを言っているわけです。その帰結として「=の反射則」
x = x
任意の対象xはそれ自身と = で結ばれる、ということ、「=の交換則」
x = y ならば y = x
である。および「=の推移則」
x = y でありしかも y = z ならば x=z
である。が出てきます。

　No.18では 1+1と2を全く無縁のものとして別々に定義しておいて、あとから両者を直接 = で結ぼうとしていますが、そのやりかたですと、あらゆる命題Aについて両者が同じ真・偽の値を示す、ということを証明しなくてはならない。これは容易なことではありません。

　そういうわけでして、stomachman足し算においては、2=S(1)は一応1+1とは別物として定義され、1+1=2は証明を要することでした。
そして両辺が1+1={0,1}, 2={0,1}つまり
{0,1} = {0,1}
であることによって、この証明は完結したんです。

*なお、No.17とNo.l8の間にあった削除されたやりとりは、回答者が自分のHPを紹介するという反則技を使ったために、明らかな規約違反となったもので、決して「議論が白熱しすぎてスレッドが荒れた」ということではありません。数学スレッドに限らず、こう何度も管理部の介入があるのは珍しいですね。

回答No.17

DASS

なかなか白熱した場所でしたね。
私も数学は苦手ながら、一所懸命読ませていただきました。

＃１７のお礼で述べられているように、「素直に信じていいのかな？」という疑問はあります。

それについて素人的な解釈をさせていただきます。
他の回答者の皆様、違っているようでしたら、訂正をお願いします。

ここに「Ａ」という１個の文字がありました。
もう一つ「Ａ」という１個の文字を横に並べて「Ａ Ａ」としました。
すなわち、”１個＋１個 ”です。

上とは別に、「Ｂ Ｂ」という２個の文字がありました。
これは純然と２個の「Ｂ」があるだけです。
すなわち、いきなり ” ２個 ”なのです。
（"２"を定義するのに、"１＋１"を使わないというところがここらへんでしょうか）

しかし、この２個は、左の「Ｂ」１個と、右の「Ｂ」１個を足して２個と考えることもできます。

ここで初めて、” １個＋１個＝２個 ”という式ができるのではないでしょうか？

”２ ”を考えるのに、ついつい”１＋１ ”すなわち、”１から１増えた数”と考えてしまうのでわかりにくいのだと思います。
”１＋１＝２ ”が当然と思えてしまうのですね。

しかし、”１＋１ "ではない、”２ ”の存在を考えると、”１＋１ ”と”２ ”が別物であり、それを”＝ ”で結ぶという事の正当性が見えてくるような気がします。

こんな説明でどうでしょうか？

回答No.16

stomachman

No.16 のコメントについて：
どうも、勝手に突走っちゃって申し訳ございませんでした。
本来の目的は、言うまでもなく質問者の疑問解消です。どうか諦めないで「どのあたりが納得行かない」「これはおかしいのでは」とか、具体的な補足をして戴けると良いのですが。
なお、tgbさんは適切な補足質問をしてくれただけであって、バトルでも何でもありませんから、お気遣いなく。

●どこまでを暗黙の了解として使っていいのか。

　核心を突いた疑問です。No.4でaminouchiさんが回答なさっている通り、数学で使う最も基本的な道具立てに何と何があるか、ということをはっきりしておかないと、１+1=2　の証明が証明になっているのかどうか分からなくなります。それをきちんとやるには、大学ノート一冊分ほどの分量が必要になる。
　ですから全部は書けませんが、ここで前提にしているのは、
（１）記号論理のルール　（正確には「一階述語論理」というもの。）
（２）集合に関する数個の公理
です。その中で、
・ふつうに物を考える時のような推論が許されています。（ここが実は「何が証明か」ということを定義している部分なので、おろそかにはできないのですが、大学ノートの１／３ぐらいはこれだけで埋まってしまいます。）
・アルファベットの記号で何か、集合を指し示すことが許されています。
・集合の概念、空集合φ、{ } を使った集合の構成、集合同士の演算∪、∩、集合同士の関係⊂、などが定義されており、集合Aとその要素xとの関係 x∈A も使えます。
・さらに関数という概念も定義されています。関数とは、ある集合に別の集合を対応付けるもの、ということですね。
・しかしまだ数というものは定義してない。
従ってこの段階で何か操作の対象となりうるのは集合だけである。
そういう状態でスタートします。

●「カウンター」って言葉について。

[1] ∪は二つの集合を合併させる（ひとつにくっつける）ことを表す記号です。
{ねこ,ぶた}∪{たぬき,さる} = {ねこ,ぶた,たぬき,さる}
という具合。

そして
s(n) = n∪{n}
このs(n) というのが「nの次の数」を作り出す関数です。

[2] s(n)と0=φ(空集合)
を使って、
1 = s(0) = {0}
2 = s(1) = {0,1}
3 = s(2) = {0,1,2}
：
というふうに自然数を作り出しました。

s(n) = n∪{n}
において、nは集合です。たとえば n = 1 = {0} だとすると、
2 = s(1) = 1∪{1} = {0}∪{1} = {0,1} = {φ,{φ}}
ということになります。つまり{0,1}という集合に2という名前をつけた(2と定義した)わけです。
2は一つの自然数であるけれど、2={0,1}という２つの要素(0と1)を持つ集合、とも見ることができる。
その要素である0, 1は既に定義してあるから2を定義するのに使って構わない。
そして、1は{0}という集合の名前であり、0はφ(要素のない集合）の名前です。だから、
2と {0,1} と{φ,{φ}}はどれも同じものを表しています。

[3] 数を数えること、つまり「１、２、３、…」と唱えるのは、「直前に言った数の、次の数を言う」という操作を繰り返しやっているでしょう。だから、
1= s(0)
2 = s(1)
3 = s(2)
という風に数を並べていく操作と同じです。これは「次の数」を表すs(n)だけあればできる。足し算は必要有りません。このように数を唱えることを、仮に「カウンター」と呼んだに過ぎません。

お礼

また、回答が削除されてしまったようですが、そこに載せていただいたURLのページ
全部読みましたが、公理(既に確からしいこと？)とかの話って、もう哲学に近くなってしまって数学の奥深さを思い知らされました。
No.16で説明されてることはとても良く理解できるんですが、正直これを納得してしまっていいのかなって思ってしまうんですよね(疑ってるようで申し訳ないんですがそういうわけではなくて)、でも悩んでも正しく判断する術をもっていないので、これ以上の議論を続けることができません。すみませんが、やっぱり締め切らせていた抱くことにします。もっと高度な数学を勉強してからでないとダメなんでしょうな。おつき合い頂きありがとうございました。

補足

わかりました、以上の解説を踏まえて、もう一度皆さんの解答を読み直してみますね
返事は整理がついてから、したいと思います。

回答No.15

stomachman

No.6で導入したf(n,m,k)の意味を解説します。

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
　tgbさんのNo.12は単なるミスとは思いません。No.8, No.10, No.12は、No.8にある
> 加法、減法の演算を内包したような得体の知れない関数
> が突然定義される事に引っかかりを感じ
という言葉が示すとおり、f(n,m,k)なる、いかにも人工的・技巧的な関数が天下りで与えられた、という印象から来る自然な疑念であり、それに対する解説としてはNo.9, 11が不満足であるためにNo.12が書かれたと理解しています。質問者であるtaurus4さんも、当然同様の疑念を持ったことでしょう。
　しかしNo.7が削除されるという事態が発生し、No.8における
> 加法、減法の演算を内包したような得体の知れない関数
の意味が不明になってしまいました。つまり「f(n,m,k)の意味の理解を促すこと自体が本サイトの主旨に反する」とサイト管理者から断じられた訳です。このため、No.13では（またしても削除されることを想定しつつ）歯切れの悪いアドバイスをするしかありませんでした。
　で、No.7の削除は承服しがたい干渉であると考えinfo_oshiete@goo.ne.jpに激怒の抗議を送ったところ、暫く時間が掛かりましたが、結局「削除は誤りであった」との回答があり、No.6の末尾に付ける形で回復されました。なお同時にNo.13もこっそり改造されたようです。
　以上、ちと業務連絡っぽいのですが、経緯を説明しないと解説の繋がりが分からなくなってしまうので、やむを得ません。
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　かくて、f(n,m,k)の構造とその意味の解説が安心してできる状態になったわけです。では早速。

　幼い子供がこれから足し算を憶えようというときに、どんな風にやるでしょうか。
　3+2をやるには、右手の指を３本出して、左手の指を２本出して、これを並べて数えなおします。「１，２，３，４，５。ねえ、３たす２は５なの？」
指さし数えたいのに両手が塞がっていますから、舌を伸ばしたりして微笑ましいものです。

　もうちょっと成長しますと、指を３本出しておいて、ここに「あと２本、指を追加する」という方法を憶えます。つまり、「（指３本出す）１（と唱えて指４本にする）２（と唱えて指５本にする）」とやって、指の形を見て（数えなくても分かるまでに上達しております）「答は５」。
　ここで「指を追加する」という操作はs(n)と同じであることにお気づきかと思います。s(n)を２回やるのが、２を足す、ということです。つまり
3+2 = s(s(3)) = 5
ですね。f(n,m,k)は、この「もうちょっと成長した子供」のやり方をそのまま真似たに過ぎません。

　f(n,m,k)と、「stomachman足し算」の定義を再掲しますと
●f(n,m,m)=n
●m≠kのとき、f(n,m,k) = f(s(n),m,s(k))
●n+m = f(n,m,0)
です。これを使って3+2をやってみると、
3+2 = f(3,2,0)
= f(s(3),2,s(0)) = f(4,2,1)
= f(s(4),2,s(1)) = f(5,2,2)
= 5
となります。
・f(n,m,k)のnの部分が、「出してある指の数」を表しています。ですから、上記の計算過程でnは3,4,5と増えていきます。
・f(n,m,k)のmの部分は、「指を幾つ追加すれば終わりか」という情報の記憶です。だからずっと変化せず2のままですね。
・f(n,m,k)のkの部分は「幾つ指を追加したか」を数えるカウンターです。すなわち、指を追加する際に「１，２」と唱えることを表しています。
　で、このカウンターが、記憶してある「指を幾つ追加すれば終わりか」という情報と一致したら、追加をやめる。そのときのnが答になっています。これを表す規則が
　f(n,m,m)=n
です。「「記憶」と「カウンター」が同じなら、「出してある指の数」が答である」という事をソノマンマ表している。そして、
　m≠kのとき、f(n,m,k) = f(s(n),m,s(k))
の方は、指を出しながら数を唱える方法を表す規則という訳です。

　以上のように、f(n,m,k)は「案外普通」の事を、記号で表したものに過ぎないんです。もし、子供の足し算のやりかたを、「普通の足し算」と認めるのであれば、以上の議論で「stomachman足し算」はまさにその「普通の足し算」であることが（非形式的にですが）示されています。

　さて、No.6の末尾にある
●g(n,m) = f(0,n,m)
という関数は、言うまでもなく引き算を表しています。
n-m = f(0,n,m)
　これは、まだ「数を逆順に数える」という能力がない子供のやる引き算なんです。たとえば3-1をやるとき、「３のひとつ前は２」という訳には行きません。ではどうするか。
　まず、指を１本出します。そして、これにあと幾つ指を追加すれば３本になるか、というのを数えるのです。つまり「（指１本出す）１（と唱えて指２本にする）２（と唱えて指３本にする）」とやる。で、最後に唱えた数、「２」が答です。
3-1 = f(0,3,1)
=f(s(0),3,s(1))= f(1,3,2)
=f(s(1),3,s(2))= f(2,3,3)
=2
　この場合には、f(n,m,k)のnが、「幾つ指を追加したか」を数えるカウンターです。f(n,m,k)のmは、「指が幾つになったら終わりか」という情報の記憶であり、変化しません。そしてf(n,m,k)のkが「出してある指の数」を表しています。

　なお、当然のことながら、n<mの場合に
n-m = f(0,n,m)
をやると、いつまで経っても終わりません。だから、この関数の定義には手抜きがあるんです。手抜きしないためには、大小関係 < を導入する必要がある。そして、さしあたって足し算には大小関係は必要ないので省いたのです。
　これは裏返せば、「数の大小が判別できる」ということが「自然数の引き算」の前提になっている、という事情を表しています。

お礼

すみません、返事を書こうと思ったんですが、数学の知識がないので回答を見て自分なりに考えてるうちに、tgbさんとstomachmanさんのバトル？見たいな感じになってしまって入り込めませんでした。どこまでを暗黙の了解で(カウンターのようなものとか)つかって良いのかの判断ができないし、照明が正しいのかどうかよく分かりません。とりあえず、ありがとうございました。

回答No.14

tgb

重ねてご迷惑をおかけすることになるかと思いますが、
お許し願いたいと思います。

　本来の演算＋は厳密に定式化し得ないと言う私の勝手な
思い込みからANo.#11でstomachmanさんがかなりの行数を
割いて丁寧に説明された部分（stomachman＋と本来＋の
等価性の証明のための手ほどきの説明の部分）を全く無視
して、ANo.#12で
<大前提みたい
　　に考えて無視しているかのように私には見えます>
と述べたことを

stomachmanさんにお詫びしたいと思います。

私の重大な見落としであり、少なくとも言及していました。
と同時に、この説明は私にとってstomachman＋と本来＋の
等価性の証明の可能性を十分に示唆するものであることを
認めたいと思います。

　従って議論はANo.#11で完結すると考えますので、議論の
当事者として混乱を避ける意味で、ANo.#12（それに伴い、
今回の回答も）を削除して考えて頂けたらと思います。

お礼

返事が遅くなってすみません、正直ちょと理解できないレベルの話になってしまって、じっと様子を見てました。毎日このページは見てたんですが、皆さんの意見について、数学の知識が無いのでよく判断できません。
ありがとうございました。一応、もうすぐ締め切らせていた抱きます。すみませんでした。

回答No.13

tgb

私の疑義はANo.#12までにしたいと思います。
　本欄の趣旨に反して偏った議論に走ったことを反省し、
質問者、stomachmanさん、および閲覧者のみなさんに
お詫び申し上げたいと思います。
　今後有意義な回答が出て質問者、閲覧者のみなさんの
理解が深まることを期待します。

回答No.12

stomachman

No.11は、No.12のご主旨に沿って回答しております。証明として完結していないことは、No.6で予め申し上げた通りですし、どのようにして完結されるか、その概要についてNo.11で解説しました。
しかし、質問者であるtaurus4さんから全く反応がないのは、質問者には分からないレベルの話になっているためではないかと危惧しています。

　従って、tgbさんご自身が別途質問を立てることをお薦めいたします。

　なお、本回答はもちろんの事ですが、tgbさんの書いた記事も消滅する可能性がありますから、控えを取っておくべきでしょう。

回答No.11

tgb

どうも私の疑義の趣旨がうまく伝わっていないようなので
表現を変えて再度述べてみたいと思います。
　先ず、数については取りあえず問題視していないので区別
せず、以下のように＋演算のみについて区別して表したいと
思います。
　＋　　質問者の考えている加算（本来の加算）
　＋’　stomachman加算
　＋”　tgb加算
そこで、
・質問者は
　　ｐｒｆ０：１＋１＝２
　が証明可能かを問いました。
・stomachmanさんは
　　ｐｒｆｓ：１＋’１＝２　（ＡＮｏ．＃６）
　の証明を示しました。

・tgbは
　　ｐｒｆｔ：１＋”１＝３　（ＡＮｏ．＃８）
　の証明を示しました。

　この場合、これまでの議論から［私が推定する］ところの
stomachmanさんの考えは
・ｐｒｆｓによりｐｒｆ０の成立が保証される。
　または等価である。
　（stomachmanさんはこの点に関して議論上の大前提みたい
　　に考えて無視しているかのように私には見えます）
・その根拠は＋’演算が＋演算を忠実に表していること。
・ｐｒｆｔはｐｒｆ０と等価にならない。
・その根拠は演算が＋演算を表していないこと
となります。

　これに対して私の考えは次の通りです。
・ｐｒｆｓとｐｒｆｔはｐｒｆ０の証明の候補としては対等
　（どちらも！証明・反証になり得ない。根拠は以下に記述）
・ｐｒｆ０とｐｒｆｓは等価にならない。
・その根拠は＋と＋’の等価性が示せない事による。
　もともと＋に厳密な定義が与えられていない以上数学的に
　等価性を議論すること自体が無意味
・ただし、無条件に＋と＋’の等価性を認めれば有意義な
　結果をもたらすことは誰もが認めるところ。

　以上のように考えてＡＮｏ．＃６の証明は
　　１＋’１＝２
の証明であって、
　　１＋１＝２
の証明として完結していない（認められない）。

　ここまで来ると証明可能・不可能の議論はあまり有意義
なものとは思えなくなりましたが．．．．．

回答No.10

stomachman

>　私は演算が本来の＋演算かどうかは問題にしていません。
>stomachmanさん自身、＋(f)の演算を本来の演算と等価か
>どうか議論すること無しに自分で勝手に定義されています。

　仰るとおりです。公理論的に自然数とその足し算を定義しても、「普通の足し算」が厳密に定義されていないと比較のしようがない。ですから"+"をtgbさんのように定義すれば、「普通の足し算」を知らない人が
1+1=3
を確信するのは全く正当です。ただ、ここまでは用語（あるいは記号）の問題、すなわち「何を足し算と呼ぶか」の違いに過ぎません。さらにtgbさんの定義された"+"を使って数学を構成していけない理由など何処にもない。（しかし、この演算は群にならないから扱いにくいです。）

　「普通の意味での自然数」や「普通の足し算」が理解されていて初めてstomachmanのf()だろうが、大学ノート一冊分だろうが、それが「普通の足し算」の形式化として相応しいかどうかが判断できるというのは、全くの正論です。そして、「普通の意味での自然数」や「普通の足し算」が定義されていないかと言いますと、そんなことはない。「普通の意味での自然数」はまさしくs(n)、つまり「ある自然数の次に来る自然数がある」という形で非形式的ながら定義されており、また「普通の足し算」は筆算であれそろばんであれ、数字の操作の規則という形で明確に定式化されています。したがって、stomachmanが提示した"+"が同じ規則に従うことを証明すれば、これは確かに「普通の足し算」であることが分かる。
　「普通の足し算」は、「足し算の九九」および１０進表現（或いはそろばん玉による表現）における繰り上がりの規則で記述できます。ですから、証明するにはNo.6の定義だけでは不足で、それを１０進表記（或いはそろばん玉で）表現する方法を構成しなくてはいけません。

　ともあれ「ま、感じだけ掴んで戴く」ための中途半端な説明であることはご理解戴きたい。必要最低限を記述するのなら大学ノート一冊までは必要ありませんし、数学基礎論の適当な参考書をご覧になれば良いでしょう。

回答No.9

tgb

質問者をさしおいての議論はマナー違反かも知れませんが、
お許し頂けるものとして話を進めたいと思います。

　私は演算が本来の＋演算かどうかは問題にしていません。
stomachmanさん自身、＋(f)の演算を本来の演算と等価か
どうか議論すること無しに自分で勝手に定義されています。

　もし「普通の意味での足し算を正確に表しているかどうか」
でどちらの証明が正しいかチェックするとしたら、証明に頼
らず、電卓で計算したり隣の人に聞いたりして確認すること
になると思いますが、そんなことは数学における正当性の
根拠としては採用できません。
　もし計算能力は全くのゼロで数学的な見識はずば抜けて
いるある人が1+1=2か正しいかを証明する手だてを持ってい
なくて、且つ電卓も持っておらず、隣に人もいないとした
場合、その人が私の証明を見たら、1+1=3を確信するはず
（stomachman！さんの証明が正しい限り）であると言え
ないでしょうか。

　次のように考えられないのでしょうか？
「stomachmanさんが示したような方法で数学の体系を
　構成(1+1=2の証明は別にして）すると普通我々が
　当たり前と考えている加法や減法（本来の演算）に
　よくマッチする（数学的証明無し）ので、我々の日頃の
　算数を厳密に再構成したものとして安心して採用できる」

　このように考えるとf()=nを採用するかf()=s(n)を採用
　するかは全く選択の問題になると思います。
（従ってその場合は数学が進歩して不都合が起こればやっぱり
　やめたと言うことになるかも知れません）