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アレフ０とアレフ１の和集合、、、
無限集合における確率に関して疑問が生じましたので、質問させてください。 集合Ａをアレフ０の無限集合とする。 集合Ｂをアレフ１の無限集合とする。 集合Ａと集合Ｂの積集合は空集合である。 集合Ｃを集合Ａと集合Ｂの和集合とする。 質問１：任意に選んだ「集合Ｃの要素」が、集合Ｂの要素である確率を求めることができますか？ 質問２：求めることが出来る場合、その確率は１ですか、1/2ですか、それともその他の確率ですか？ （蛇足） 質問３：上記の定義を変更し、集合Ａ、集合Ｂの濃度が同じだった場合、集合Ｃから選んだ任意の要素が集合Ｂの要素である確率は1/2と考えてよいでしょうか？
- Mokuzo100nenn
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- 数学・算数
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2の礼は[0, 1]上の一様分布を考えるという意味? それなら普通の確率論。 選ぶのが無理数である確率は1。 蛇足については3の人と同意見です。
お礼
回答ありがとうございます。 確率＝１ということの数学的意味をチャンと理解したいと思います。
- alice_44
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確率を計算するためには、集合の濃度だけではダメで、 集合C上に測度を定義する必要があります。 その状況は、後半の質問を考えるとハッキリします。 自然数の中で、7 で割り切れる数を A、 7 で割ると 1 または 2 あまる数を B とすると、 A, B の濃度はどちらもアレフ0 ですが、 A∪B から B を取り出す確率が 1/2 だとは 考え難いですね？ 平面上で、半径 1 の円を A、 半径 10 の円を B とすると、 A, B の濃度はどちらもアレフ1 ですが、 これも、A∪B から B を取り出す確率が 1/2 とは 考え難いと思います。 あとは、「確率」の値が直感に沿うような 上手い測度が定義できるか？ という問題になります。 どうなんでしょうね。
お礼
回答ありがとうございます。 蛇足の質問が有意義でした。 ０から１の間の実数を集合Ｃとし、実数のうちの有理数が集合Ａ，無理数が集合Ｂです。 Ｗｉｋｉｐｅｄｉａによれば、 「実数は非可算個で有理数は可算個であるから、ほとんど全ての実数は無理数である。」ということですから、0から１の間にある実数も”ほとんど全て”が無理数というとになります。 実数の集合Ｃから任意の実数を選んだ時、それが無理数の集合Ｂである確率は直感的に1/2よりも大きいのですが、かといってその確率が１だと仮定すると、有理数を選択する確率が0ということになってしまうので、困った訳です。 測度という概念は初めて知りましたが、こいつを適当に定めることで、直感に反しない確率が決まるということですね。測度について勉強してみます。 一方の確率の概念ですが、どんな事象にも確率があるけれど、その値を求めることが困難なのか、あるはい場合によっては値が定まらない（＝不定）という性質をもった確率も定義できるのでしょうか？
前提がよく分からないんだけど、選ばれる要素の確率分布として、どんなのを考えてるんでしょう。 つまり、「任意」の意味が分からない。 ちなみに、一様分布は、標準の確率の枠組みでは、無理。
お礼
質問の仕方が悪かったかもしれません。 （ひょっとしてアレフの使い方を勘違いしているのかも、、、、） ０と１の間にある数は有理数と無理数に分けられます。 有理数は濃度０の無限集合で、無理数は濃度１の無限集合です。 有理数でありかつ無理数である数はありません（空集合）。 ０と１の間で任意の数をひとつ選んだとき、その数が無理数である確率は計算できるでしょうか。 計算できる場合、その確率は１でしょうか、1/2でしょうか、それともそれ以外の確率でしょうか。
- Tacosan
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すべて「アレフ」同士の関係が分かっていれば簡単. 「アレフ0×アレフ0」はどうなりますか?
お礼
早速に投稿ありがとうございます。 残念ながら私にとっては簡単じゃあないもんで、、、。 確率は計算可能ですか？
お礼
回答ありがとうございます。 この歳になるまで、「確率が０」とういのは「起こり得ない」ことを意味すると信じていました。 確率＝０は確率≒０を包含しているということになってしまうのですかね？ 無限といい、存在といい、確率といい、通常の日本語の意味とは別に数学バージョンがあるのですね。 私にとっては、無限が不思議の国の扉を開いてくれたようです。