σ-加法族について

質問

Ωを全事象として、A,B⊂Ωで、B⊂Aとする。このとき、A,B∈Аとなるような、最小のσ-加法族Аを求めよ。

という問題なんですが、普通すべて入れると、φ,A,B,A^c,B^c,Ωの６つになりますよね？これを何とかして、要素を2つまたは4つで表すことが出来る、という問だと思うんですが、どう考えればいいのでしょうか？
Uやcを使って、A,Bを組み合わせて、何か適したものを作ろうとしましたが、どうも加法族の性質に反してしまいます。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

σ-加法族は、少なくとも、∩, ∪, ^c について閉じていなければなりませんが、
先に挙げた S の元は、どれも、A と B から ∩, ∪, ^c で構成されています。
A, B を含む σ-加法族は、S を含んでいる必要がありますね。
後は、S が ^c と、(加算無限を含む)任意加算回の ∪ について閉じている
ことを示せばよいことになります。

補足

少し見るのが遅くなってしまいました。

イメージとしては、A,B,Ωで作られた領域を２色で塗る(隣り合う領域が同じ色でもＯＫ)、のパターンを考える、というものと似ているのでしょうか？

もう１つ、「最小の」という指定がなければ、答えは変わってきますか？

回答No.1

alice_44

Α と A が紛らわしいですね。
A, B が生成する σ加法族は、とりあえず
Α ではなくて S とでも書きましょうか。

S を示すには、その全ての元を挙げればよく、
ベン図を睨んで、
S = { φ, B, A∩(B^c), A^c, A, B∪(A^c), B^c, Ω }
でよいでしょう。
ベン図上の領域が 3 個あるので、
S の元は 2^3 個です。6 個じゃありません。

「要素を 2 つまたは 4 つで表す」というのが
何のことだかは、判りません。

補足

回答ありがとうございます。８つだったんですね。

最小ということで、要素の数をなるべく少なく表す、と考えていましたが、最小で要素が８個ということでしょうか？