σ-加法族の生成

質問

Xを空でない集合，Σをその部分集合族とする。このとき，Σの元をすべて含む最小のσ-加法族が存在する
という命題の証明について、
{T⊃Σ∣Σ is σ-filed}をΣを含むσ-加法族の集合とした時、∩{T⊃Σ∣Σ is σ-filed}が求める最小のσ-加法族との事なのですが、これが最小であることの示し方が分かりません。
ご教授頂けますと幸いです。
よろしくお願い致します。

回答No.1

tmppassenger · ベストアンサー

「Σを含むσ-加法族の集合」なら {T⊃Σ∣T is σ-field} ではないとおかしい。「Σを含み、かつ σ-field （filedではない）（つまりσ加法族）であるような『T』全体からなる集合」なのだから。

で、∩{T⊃Σ∣T is σ-field} 、つまり「Σを含むσ加法族全体からなる集合の共通部分」を考えた時、これが「Σを含むσ加法族のなかで最小」になる、という証明の方法は『よくある方法』。細かくは自分で考えてください。

以下、V = ∩{T⊃Σ∣T is σ-field} と書く。

◯先ず、V自体がσ加法族である事を示す必要がある。
◯ V⊃Σであることは容易。
◯ で、『最小』であることの証明。WをΣを含む任意のσ加法族とすれば、W∈{T⊃Σ∣T is σ-field} であるから、V = ∩{T⊃Σ∣T is σ-field} ⊂W。従ってV⊂Wであるから、VはΣを含むσ加法族の中で最小。

こういった手法はよくやるはず。例えばXを位相空間、UをXの開集合系、AをXの勝手な部分集合をした時、『Aによって生成されるXの開集合』、つまり『Aを含むようなXの開集合の中で最小のもの』が存在する、ということを示す、とかいう命題でもやる。

これも同様に、W = { V∈U | V⊃A }、つまりWを「Aを含むXの開集合全体」としたとき、∩Wが『Aを含むようなXの開集合の中で最小のもの』になる。

お礼

ご回答ありがとうございます！
理解しました
集合論の知識が浅いまま入ったので集合論も見返そうと思います。
また困った時はお助けください！