σ-加法族について

質問

Ωを任意の集合とし，Ωの部分集合の族でσ-集合体になっているものをA,Bとする．
このとき、A∪Bは必ずしもσ-加法族にならないことを反例をもって示せ．
（ヒント：Ω={1,2,3,4,5}として考えてみよ．）

という問題が出ました。
例えば
A={{1},{2,3,4,5},Ω,φ}
B={{2,3},{1,4,5},Ω,φ}　とすると
A∪B={{1},{2,3,4,5},{2,3},{1,4,5},Ω,φ}となります。
これはσ-集合体の条件である
(1)E∈F　⇒　E^c∈F
(2)Ei(i=1,2,...)∈F　⇒　∪[i=1～∞]Ei∈F
という条件を満たすので判例とはなりません。

色々ためしてみたのですが判例とはなりえませんでした。どこか勘違いしているように思います。
ご教授いただけたら幸いです。よろしくお願い致します。

回答No.2

nag0720 · ベストアンサー

(2)は「Ｆの任意の高々可算個の和はＦの元である」という意味です。

EiはＦのすべての元とは限りません。
無限個の集合和の場合でも、
E1={1}、E2=E3=E4=・・・・={2,3}
ということも考えられます。

回答No.1

nag0720

示された例で言うと、
{1}∪{2,3}＝{1,2,3}はA∪Bに含まれていないのでσ-集合体ではありません。

補足

(2)Ei(i=1,2,...)∈F　⇒　∪[i=1～∞]Ei∈F
この条件は全Eiの集合和がFの要素となっている、と解釈していました。
つまり例でいうA∪Bでは
∪[i=1～6](A∪B)　=　{1}∪{2,3,4,5}∪{2,3}∪{1,4,5}∪Ω∪φ　＝　Ω
となり、Ω∈A∪BなのでA∪Bはσ-加法族であるという考えです。

この解釈自体が間違っていて、∪[i=1～∞]Ei∈Fが意味するのは
Eiの全組み合わせの和集合がFの要素となっている、
つまりE1~E4が存在するとき、
E1∪E2,E1∪E3,E1∪E4,E2∪E3,E2∪E4,E3∪E4,
E1∪E2∪E3,E1∪E2∪E4,E1∪E3∪E4,E2∪E3∪E4,
E1∪E2∪E3∪E4　∈F　ということでしょうか。