垂直・平行なベクトルの問題

質問

a→=(a,b)に平行なベクトルは　ka→(ka,kb)
a→=(a,b)に垂直なベクトルは　(lb,-la)

平行は分かったつもりですが、垂直はさっぱり分かりません。要はどちらともよく分からないので、どなたか教えてください。

回答No.3

aco_michy

e1→=(1,0)
e2→=(0,1)
とします。

a→=(a1,a2)
b→=(b1,b2)
としますと

a→=(a1,a2)=(a1,0)+(0,a2)=a1e1→+a2e2→
同様に
b→=(b1,b2)=(b1,0)+(0,b2)=b1e1→+b2e2→

よって
a→・b→=(a1e1→+a2e2→)・(b1e1→+b2e2→)
=a1e1→・b1e1→
+a1e1→・b2e2→
+a2e2→・b1e1→
+a2e2→・b2e2→

=a1b1(e1→)^2
+a1b2e1→・e2→
+a2b1e2→・e1→
+a2b2(e2→)^2

ここで
e1→・e2→と
e2→・e1→は
垂直ですから、内積は０になります。
また、
(e1→)^2と
(e2→)^2は、
1になります

したがって
a→・b→
=a1b1(e1→)^2
+a1b2e1→・e2→
+a2b1e2→・e1→
+a2b2(e2→)^2

a→・b→
=a1b1・1
+a1b2・0
+a2b1・0
+a2b2・1
=a1b1+a2b2

となります。

あなたがどのぐらいの知識を持っているのか分かりませんので、このぐらいしか説明できません。
参考にならなかったらすみません。

回答No.2

digitalworld

１．あるベクトルに対して平行なベクトルは、
　　その定数倍で表すことができます。
　　それが分かっていれば、平行はさほど
　　難しくはないと思いますが・・・。

２．互いに垂直な２本のベクトルは、内積が０に
　　なるという重要な性質を持っています。
　　a→・b→=0とあらわします。
　　また、a→=(a1,a2),b→=(b1,b2)のように各成分
　　を定義すると、
　　a→・b→=a1b1+a2b2 なので、この場合は
　　(a,b)・(lb,-la)=alb+b(-la)=0
となることより、この２ベクトルは直交すること　　が確認できます。

補足

ありがとうございました。
なぜ、この場合は(a,b)・(lb,-la)=alb+b(-la)=0となるのでしょうか。

回答No.1

hh69

a,b,k,lに適当な値を入れてベクトルをグラフに実際に書いてみましょう。例えばa=1,b=2, k=2, l=2の場合、
a→=(1,2)で、ka→=(2,4)
(lb,-la)=(4,-2)
になりますね。これをグラフ用紙に実際に書いてみればわかると思います。

ちなみに垂直になるための条件はベクトルの内積が0になることです。ベクトルの内積は2つのベクトルのx成分同士、y成分同士をそれぞれ掛け合わせて、足したものになります。
例えば、上の例でいうと、(1,2)というベクトルと、(4,-2)というベクトルの内積は、
1*4+2*(-2)=4-4=0
となり、確かに内積が0になっていることがわかります。