ベクトルの微分について

質問

ｄＡ／ｄｔ＝ｄ｜Ａ｜／ｄｔ＊ａ＋｜Ａ｜＊ｂを示さなくてはいけないのですが、どうすればいいのかわかりません。どうか教えてください。
ちなみに、Ａはベクトルで、ａはＡに平行な単位ベクトルで、ｂはＡに垂直な単位ベクトルです。

回答No.2

sakura_214 · ベストアンサー

ベクトルA↑の単位ベクトルをa↑とすると，A↑=|A|a↑と書けるので，これをtで微分すると，合成関数の微分の公式から
dA↑/dt=(d|A|/dt)a↑+|A|(da↑/dt)
となります．ここで右辺第２項のda↑/dtは，a↑・a↑=1（∵a↑は単位ベクトル）より両辺をtで微分すると，
(da↑/dt)・a↑+a↑・(da↑/dt)=0
→ (da↑/dt)・a↑=0
となるので，da↑/dt ⊥ a↑であるとわかります．

このように一般に，da↑/dtはa↑と垂直になりますが，下の方も指摘されていますが，da↑/dtは必ずしも単位ベクトルになるとは限りません．よってb↑=da↑/dt がAに垂直な「単位」ベクトルであるためには，他にも条件が必要ですので確かめて見てください．

いすれにせよ，
dA↑/dt=(d|A|/dt)a↑+|A|b↑　（b↑はA↑に垂直なベクトル）
ここまでは必ず変形できます．

お礼

答えてくださってありがとうございました。
わかりやすい説明だったので理解することができました。

回答No.1

mmky

参考程度に
A = |A|*e^iθ=|A|*(cosθ+isinθ)
dA/dt={d|A|/dt}*(cosθ+isinθ)
+ |A|*(-sinθ+icosθ)(dθ/dt)
a=(cosθ+isinθ) :Ａに平行な単位ベクトル
b=(-sinθ+icosθ):Ａに垂直な単位ベクトル
(dθ/dt)=1, と置けば、
dA/dt={d|A|/dt}*a+|A|*b
(dθ/dt)=1, と置けばの条件があるけど、こんな風な形にはなりますね。

お礼

ありがとうございました。
教えてくださった置き方で示すことができました。

補足

質問なんですが、ベクトルの角度θはどんな角度と考えればよいのですか？