３の倍数

質問

数字の桁数の和が３で割り切れると、３の倍数になるのは何故でしょうか？

例：１０００２→１＋０＋０＋０＋２＝３
　　よって１０００２は３の倍数。

回答No.3

yoikagari · ベストアンサー

他掲示板での私の回答をコピペしておきます。

「4桁の数1000a+100b+10c+dの場合の証明は
1000a+100b+10c+d=999a+99b+9c+(a+b+c+d)
a+b+c+dが3の倍数であれば、a+b+c+d=3kと書けます。
999a+99b+9c+(a+b+c+d)=3×(333a+33b+3c+k)だから。
4桁の数1000a+100b+10c+dは3で割り切れます。

同じやり方で、何桁の整数でも示せます。

難しいかもしれませんが、その説明を書いておきます。

n桁の数{10^(n-1)}*a+・・・10*l+m=9・・・9*a+・・・+9l+(a+・・・+m)
a+・・・+mが3の倍数であれば、a+・・・+m=3zと書けます。
9・・・9*a+・・・+9l+(a+・・・+m)=3×(3・・・3a+・・・+l+z)となるので、
n桁の数{10^(n-1)}*a+・・・10*l+mも3で割り切れます。」

回答No.5

sanori

＃４の者ですが、ちょっと補足しておきます。

この問題は、１０進法なので、
「和が９の倍数なら、元の数も９の倍数」
「和が３の倍数なら、元の数も３の倍数」
になります。

９進法ですと
「和が８の倍数なら、元の数も８の倍数」
「和が４の倍数なら、元の数も４の倍数」
「和が２の倍数なら、元の数も２の倍数」

８進法ですと
「和が７の倍数なら、元の数も７の倍数」

７進法ですと
「和が６の倍数なら、元の数も６の倍数」
「和が３の倍数なら、元の数も３の倍数」
「和が２の倍数なら、元の数も２の倍数」

このようになりますよ。

＃４の私の回答でイメージさえつかめれば、上記のことなど、ちょちょいのちょいですよ。
やはり、大きい数（Ｎ進法のＮより１個小さい数）から考えるのが、一番考えやすいです。

回答No.4

sanori

実は、それより簡単なのが、
「各桁の数字の和が９の倍数ならば、９で割り切れる」
です。

１の位の数字をａ０、１０の位の数字をａ１、１００の位の数字をａ２・・・
と置けば、
元の数　＝　Σ（ａn×１０^n）
　＝　Σ（ａn）　＋　Σ｛ａn×（１０^n － １）｝
（ａnは、マイナスでない任意の整数）
（ｎ＝０～＋∞）

ところが、１０^n から１を引くと、必ず９だけが並んだ自然数（ただし、ｎ＝ゼロのときだけはゼロ）になります。
これは、必ず９で割り切れます。（商は、１が並んだ自然数になります。）

したがって、

元の数　＝　Σ（ａn）　＋　９の倍数

だから、各桁の数字の合計 Σ（ａn）も９で割り切れれば、

元の数　＝　９の倍数　＋　９の倍数
　　　　＝　９の倍数

となって、元の数も９で割り切れます。

Σ（ａn）が９で割り切れなくても、３で割り切れれば、

元の数　＝　Σ（ａn）　＋　９の倍数
　　　　＝　３の倍数　＋　３×（３の倍数）

だから、「９で割り切れる」の方を先に考えるほうが、順序として合理的で、かつ、簡単なんですよ。

回答No.2

ymmasayan

９８７６５４を例にとりましょう。

９０００００割る３＝３０００・・・０
８００００割る３＝２６６６６・・・２
７０００割る３＝２３３３・・・１
６００割る３＝２００・・・０
５０割３＝１６・・・２
４割る３＝１・・・１

０＋２＋１＋０＋２＋１＝６で３であまり０

９＋８＋７＋６＋５＋４＝３９・・３９／３＝１３・・０

回答No.1

pocopeco

例えば
1桁の数で３の倍数　3,6,9
1の位をa,10の位をb,とすると、二桁の数は10a+b　とかけます。
10a+b=9a+a+b=9b+(a+b)
9bは3の倍数なので、(a+b)が3の倍数なら、その二桁の数は３の倍数です。

同じように3 桁でも
100c+10b+a=99c+9b+(a+b+c)=9(11c+b)+(a+b+c)

何桁でもできます。