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85の倍数と87の倍数を足して3000に近い数

2018/03/06 12:23

85の倍数と87の倍数を足して3000に一番近い数字を、簡単に出す計算方法というのはないでしょうか。ひとつひとつ足していくのが一番早道なのかどうかを知りたく質問致しました。ご回答どうか宜しくお願い致します。

footsteps38
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数学・算数
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staratras
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2018/03/07 06:16 回答No.8

ご質問の趣旨は「85x+87y=3000 に近い正の整数x,yを求めよ」ということだと推察します。まず85x+87y=3000　を満たす正の整数x,yは存在しません。これはグラフを描いてみれば一目瞭然です。(注）また85x+87y-｛85(x+1)-87(y-1)}=2　…（１）なので、xを1増やしyを1減らせば2刻みで変化しますので、和が3000に最も近いのは、 85x+87y=2999　または　85x+87y=3001　です。…（２） 3000/86=34.88…だから仮にx=18,y=17 とすると　85x+87y=3009　です。（１）からxを1増やしてyを1減らせば85x+87yは2だけ少なくなります。そこでxを4増やし、yを4減らせば、つまりx=22、y=13のとき85x+87y=3001 さらにxを1増やし、yを1減らせば、つまりx=23、y=12のとき85x+87y=2999　です。 (注）グラフを描かなくとも次のように考えればわかります。 85x+87y=3000　が成り立つとすればx,yがともに奇数かともに偶数である。（片方が奇数で片方が偶数なら85x+87yが奇数になり題意を満たさない）【ともに奇数のとき】 3000/86=34.88…だから仮にx=15,y=19 とすると　85x+87y=2924　ここで偶奇性を変えないためには xとyを2ずつ増減させなければならず、85x+87y-｛85(x+2)-87(y-2)}=4　であるので、4刻みで変化するが 3000-2924=76　は4の倍数ではないので和を3000にはできない。【ともに偶数のとき】　仮にx=18,y=18 とすると　85x+87y=3096 3096-3000=96　96=4・24だから、和を3000にするにはx=66　y=-30　としなければならず題意を満たさない。

質問者

お礼 2018/03/13 20:03

想像以上に沢山の方からの回答を頂けて、感謝の限りです。色んな解き方といいますか解説を頂けた中で、質問の趣旨をまとめていただき、（個人の独断になってしまいますが）解き方を理解できたこちらをベストアンサーにさせて頂きました。本当にみなさんありがとうございます！

その他の回答 (8)

TOMONARI SEIJI（@seijiadb07）
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2018/03/07 15:07 回答No.9

答えに近いかというのは当然の事で、速算の有り無しに聞こえましたが、楽しみながら解くのも面白いですね。本末もありますが、楽しみを忘れても面白くありません。前述の方には偶数の場合で、最小公倍数に当てはまる場合は答えもそれに当てはまりますね！自分は、あくまでも楽しみの範疇ですが…。例えば、8000に88と64はたくさん組み合わせがあります。320、640、、、7680までの組み合わせとか！どうぞ、これからも、楽しみながら解いてください。。

TOMONARI SEIJI（@seijiadb07）
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2018/03/07 04:04 回答No.7

面白く解けないか? という事で... 3000/87=34....⇒余り42 3000/85=35....⇒余り25 余りの合計は42+25で「67」 3000/4=750-67=683-87-85=「511」 511-1=510/85=「6」 6*4=24-1=「23」*85=1955 3000-1955=1045-1=1044/87=「12」。 87は12、85は23。トータル(87*12)＋(85*23)=2999

178-tall
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2018/03/06 20:24 回答No.6

「85 の倍数 (=85x) と 87 の倍数 (=87y) を足し」て得られる「整数」を N とすれば、　85x + 87y = N　　… (1) なる「一次不定方程式」を得る。 (1) にて N = 3000 として解いてみると、特解 (例) ：x0 = 129000, y0 = -126000 一般解：x = x0 - 87*k, y0 = y0 + 85*k ； (k は任意の整数) を得る。このペアでは、k=1482 のとき x＞0, y＜0 、k=1483 のとき x＜0, y＞0 で、非負ペアは無い。 (1) にて N = 3001 として解いてみると、特解 (例) ：x0 = 129043, y0 = -126042 一般解：x = x0 - 87*k, y0 = y0 + 85*k ； (k は任意の整数) を得る。この解ペアでは、k=1483 のとき非負解 x=22, y=13。 (1) にて N = 2999 として解いてみると、特解 (例) ：x0 = 128957, y0 = -125958 一般解：x = x0 - 87*k, y0 = y0 + 85*k ； (k は任意の整数) を得る。この解ペアでは、k=1482 のとき非負解 x=23, y=12。 … など。

qwe2010
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2018/03/06 14:47 回答No.5

3000÷85＝35　あまり25 3000に近づけるには、あまりの25をなるべく少なくするようにすればよい。 87－85＝２ 25÷２＝12あまり１ 85の総数35のうち、 12個を87に置き換えれば、3000に近い数字になる。 85が35－12＝23 87が12 あまり１

Postizos
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2018/03/06 13:32 回答No.4

3000÷85=35 あまり25 25÷(87-85)=12 あまり1 35-12=23 23×85=1955 12×87=1044 1044+1955=2999 22×85=1870 13×87=1131 1870+1131=3001 鶴亀算

tmppassenger
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2018/03/06 13:26 回答No.3

あ、まちがえた。 > 2975 + 2 * 12 = 3000 + (12 - 12.5) / 2 = 2999 正しくは、2975 + 2 * 12 = 3000 + (12 - 12.5) * 2 = 2999 です。

tmppassenger
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2018/03/06 13:18 回答No.2

87 - 85 = 2ですね。なので、 ● 「倍数」というのを、負の倍数も許せば、例えば 85 * (-1500) + 87 * 1500 = 2 * 1500 = 3000となります。 ● そうでなくて、非負の倍数しか許さないのであれば、まず丁度3000にするのは不可能なことがわかります。というのも、x, yを非負整数、85x + 87y = 3000とすれば、 85(x+1500) = 87(1500-y)となります。ここで85と87は互いに素なので、ある（負かもしれない）整数zがあって、 x= -1500 +87z, y=1500-85zとなります。ここでx≧0とすると z≧18でないといけませんが、この時y≦-30となってしまいます。ところで、さきほどもいいましたが、87-85 = 2です。そこで、3000 / 85 = 35.2... ですが、85 *35 = 2975です。(3000 - 2975) / 2 = 12.5ですので、 85 * (35 - 12) + 87 * 12 = 2975 + 2 * 12 = 3000 + (12 - 12.5) / 2 = 2999、整理すると 85 * 23 + 87 * 12 = 2999となります。