どうかＨａｍｉｌｔｏｎ－Ｃａｙｌｅｙの定理を

質問

Ｈａｍｉｌｔｏｎ－Ｃａｙｌｅｙの定理を証明してください
お願いします

回答No.2

nikorin · ベストアンサー

ｘにＡを代入しちゃうなんて、とってもはしょった証明ですね。びっくりました。

さて、｜ｘ・Ｅ－Ａ｜はｘのｎ次多項式
ｘ＾ｎ＋ａ＿[ｎ－１]・ｘ＾（ｎ－１）＋…＋ａ＿[０]；ａ＿[ｋ]は係数。
と書けます。

ここで｜ｘ・Ｅ－Ａ｜・Ｅ＝（ｘ・Ｅ－Ａ）・Ｂ（ｘ）の左辺に上式を、
右辺にＢ（ｘ）＝…の式を代入し、両辺のｘ＾ｋの係数を比較します。

出来上がったｎ＋１個の式について、ｘ＾ｎの係数を比較した式の両辺にＡ＾ｎをかけ、
ｘ＾（ｎ－１）の係数を比較した式の両辺にＡ＾（ｎ－１）をかけ…
そして全部足す（これをはしょると「代入」にみえるんですね。）とケーリー・ハミルトン
の定理が得られます。

方針だけ示しましたが、計算してみてください。

（あれ？「ハミルトン・ケーリーの定理」と「ケーリー・ハミルトンの定理」、どっちが正しいんでしょう？）

回答No.1

nikorin

問題の背景やご自分でどこまで考えたかをお示しにならないと
なかなか回答してくれる方はおられないんではないでしょうか。

多分以前にお書きになっておられたと思いますが、証明が怪しい
と思われる教科書があったとか。
例えばその部分を書き出してなぜ怪しいと思われるのかを書いて
みたらどうでしょう？

お礼

Ｈａｍｉｌｔｏｎ－Ｃａｙｌｅｙの定理：
ｘを複素数の変数としＡをｎ次正方行列としＥをｎ次単位行列としｆ（ｘ）≡｜ｘ・Ｅ－Ａ｜とすればｆ（Ａ）＝０である

Ｈａｍｉｌｔｏｎ－Ｃａｙｌｅｙの定理の証明：
ｘ・Ｅ－Ａの余因子行列をＢ（ｘ）としＢ［０］，Ｂ［１］，Ｂ［２］，Ｂ［３］，・・・，Ｂ［ｎ－１］をそれぞれ適当なｎ次正方行列として
Ｂ（ｘ）＝ｘ＾（ｎ－１）・Ｂ［０］＋ｘ＾（ｎ－２）・Ｂ［１］＋・・・＋ｘ＾０・Ｂ［ｎ－１］
｜ｘ・Ｅ－Ａ｜・Ｅ＝（ｘ・Ｅ－Ａ）・Ｂ（ｘ）＝Ｂ（ｘ）・（ｘ・Ｅ－Ａ）
よってＢ［０］，Ｂ［１］，Ｂ［２］，Ｂ［３］，・・・，Ｂ［ｎ－１］はＡと交換可能である
ｘにＡを代入すればｆ（Ａ）＝（Ａ－Ａ）・（（Ａ＾（ｎ－１）・Ｂ［０］＋・・・＋Ａ＾０・Ｂ［ｎ－１］）＝０

が定理の証明です
ｘにＡを代入することができるのが不思議なのですが

よろしくお願いします

補足

大変よく分かりました
解決です
どうもありがとうございました

「ハミルトン・ケーリーの定理」と「ケーリー・ハミルトンの定理」、どっちが正しいんでしょう？
私の本では３冊とも「Ｈａｍｉｌｔｏｎ－Ｃａｙｌｅｙ」です
多分語呂がいいから「ケーリー・ハミルトンの定理」とも言うのかもしれません
しかし貢献度がハミルトンのほうが高いから「Ｈａｍｉｌｔｏｎ－Ｃａｙｌｅｙの定理」と言うのではないですか？
私も真偽を知りたいので質問してみます