定理について

質問

和の定義と整数の性質を使って導かれる定理の５つのうち一つに関して、定理が理解できないので、その定理に関して、証明ができるかたいましたら教えて下さい。

ｘ∈Ｑ、ｙ∈Ｑ、ｚ∈Ｑについて、

(ｘ＋ｙ)＋ｚ＝ｘ＋(ｙ＋ｚ)

の定理がどうして導かれるのか分かる方、お願いします。

回答No.2

adinat · ベストアンサー

ｘ∈Ｚ、ｙ∈Ｚ、ｚ∈Ｚについて、
(ｘ＋ｙ)＋ｚ＝ｘ＋(ｙ＋ｚ)
であるとき、ｘ∈Ｑ、ｙ∈Ｑ、ｚ∈Ｑについて、
(ｘ＋ｙ)＋ｚ＝ｘ＋(ｙ＋ｚ)
を示す、という問題でよいですか？その際、ｘ＝ｐ／ｑ∈Ｑ、ｙ＝ｒ／ｓ∈Ｑ（ただしｑ，ｓは自然数で、ｘ＝ｙとは比が等しい、つまりｐｓ＝ｑｒのときと約束する）に対して、ｘ＋ｙ：＝（ｐｓ＋ｑｒ）／ｑｓ（通分）を和の定義とする、ということでよろしいですか？

そうであれば、さらにｚ＝ｕ／ｖとおいて、
(ｘ＋ｙ)＋ｚ＝（（ｐｓ＋ｑｒ）ｖ＋ｕｑｓ）／ｑｓｖ
ｘ＋(ｙ＋ｚ)＝（ｐｓｖ＋（ｒｖ＋ｕｓ）ｑ）／ｑｓｖ
となって、分子の部分は分配法則からそれぞれ
（ｐｓｖ＋ｑｒｖ）＋ｕｑｓ
ｐｓｖ＋（ｑｒｖ＋ｕｑｓ）
となりますが、これが等しいことは整数の性質（結合則、これは定理ではなくて約束）から導かれます。

回答No.1

Musicful-hearts

推移性（結合法則）: (n + m) + l = n + (m + l) = n + m + l

整数の加法の性質であり、定理ではないので証明はないのではないでしょうか。