パーセバルの定理について

質問

パーセバルの定理の証明をわかりやすく教えてください。

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

A(x)とB(x)をリーマン積分可能なR上の複素数値関数(周期は2π)とし,
これらをフーリエ級数で表すと
A(x)=Σ_{n=-∞～∞}(a_n)e^{inx}
a_n={1/(2π)}∫_{-π～π}A(x)e^{-inx}dx
B(x)=Σ_{n=-∞～∞}(b_n)e^{inx}
b_n={1/(2π)}∫_{-π～π}B(x)e^{-inx}dx

m≠nのとき∫_{-π～π}e^{i(m-n)x}dx=0
{1/(2π)}∫_{-π～π}e^{i(n-n)x}dx=1
だから

A_N(x)=Σ_{n=-N～N}(a_n)e^{inx}
B_N(x)=Σ_{m=-N～N}(b_m)e^{imx}
B_N(x)~はB_N(x)の共役複素数
とすると

{1/(2π)}∫_{-π～π}A_N(x)B_N(x)~dx
={1/(2π)}∫_{-π～π}[Σ_{n=-N～N}(a_n)e^{inx}][Σ_{m=-N～N}(b_m~)e^{-imx}]dx
={1/(2π)}∫_{-π～π}[Σ_{n=-N～N}Σ_{m=-N～N}(a_n)(b_m~)e^{i(n-m)x}]dx
=Σ_{n=-N～N}Σ_{m=-N～N}(a_n)(b_m~){1/(2π)}∫_{-π～π}e^{i(n-m)x}dx
=Σ_{n=-N～N}(a_n)(b_n~)

N→∞
とすると
∴
{1/(2π)}∫_{-π～π}A(x)B(x)~dx=Σ_{n=-∞～∞}(a_n)(b_n)~

お礼

どうもありがとうございました！