どんな定理の証明もいつでも書けるのでしょうか

質問

どんな定理の証明も、いつでも文章に書けるのでしょうか。

回答No.3

ta20000005 · ベストアンサー

たとえば公理系を固定した時にその理論の命題が証明か反証可能かという意味でしたら、公理系によっては証明も反証もできない命題がありますから、一般には不可能です(もちろん理論内のすべての命題が証明か反証が可能である公理系もありますが)。ただし、そのような命題かその否定かを元の公理系につけ加えた公理系では明らかに証明か反証ができます。つまり、公理系を固定しなければ、このような独立命題だったものでも証明や反証はできるようにすることは可能です。
また、やはり公理系を固定した時、証明の長さの下限が宇宙にある全物質の個数を超えるような命題もあり得ます。この場合、実質的に証明は不可能です。ただし、このような場合でも、一見関係のないように見える独立命題を公理系につけ加えることにより、証明の長さが実行できるくらいに短くなることがあります。したがってこの意味でも、公理系を固定しなければ証明できるかもしれません。
要するに、公理系を固定するかしないかで、証明できるかできないかは違ってきます。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.2

alice_44

真とも偽とも証明できない命題が存在することは、証明されている。

言葉遊びをすると、証明された命題だけが「定理」だから、
「どんな定理の証明も書ける」は、自明ではある。
実際に書けるかどうかは、書く人の能力しだいだけど。

←A No.1
公理の「証明」は、それが公理であると指摘することだよ。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.1

maiko0318

証明されているものについては書けるでしょう。

証明されていないものがありますが・・・
ex)点は大きさはないが、点が集まると線になる（長さは点の大きさ×個数のはず）
　　球も、点が集まったものである。

お礼

回答ありがとうございました。