比

質問

平面上に△ABCと点Pがあって、l(→PA)＋m(→PB)＋n(→PC)=(→0)
(l,m,nは正の定数）が成り立っている

面積比△PBC:△PCA:△PABを求める問題です。
-(→PA)=m(→PB)＋n(→PC)
(→PA)=m(→PB)＋n(→PC)
=(m＋n)*(m(PB)＋n（PC))/m＋n)

ここで、(m(PB)＋n（PC))/m＋n)=PDとすると
PDとなる点Dをとれば、Dは線分BCをn:mに内分する点。

l(PA)＝m＋n(PD)
から、３点A,P,Dは同一直線上で
比にすると
AP:PD=(m＋n):l

ここまでしか分かりません。

回答No.1

freedom560 · ベストアンサー

ここまでできていれば後一歩ですね！

△ＡＢＣと点Ｄ，Ｐについて、

＞PDとなる点Dをとれば、Dは線分BCをn:mに内分する点

＞３点A,P,Dは同一直線上で比にするとAP:PD=(m＋n):l

がわかっているので、
△ＡＢＣを△ＡＢＰ、△ＡＣＰ、△ＰＢＣに分割した後、さらに△ＰＢＣを△ＰＢＤと△ＰＣＤに分けます。

Dは線分BCをn:mに内分する点なので
△ＡＢＤ：△ＡＣＤ＝ｎ：ｍ　より、

△ＡＢＤ＝ｎ／（ｎ＋ｍ）△ＡＢＣ
△ＡＣＤ＝ｍ／（ｎ＋ｍ）△ＡＢＣ

です。また、AP:PD=(m＋n):lなので、
△ＡＢＰ：△ＰＢＤ＝（ｍ＋ｎ）：ｌ
△ＡＣＰ：△ＰＣＤ＝（ｍ＋ｎ）：ｌ　より

△ＡＢＰ＝（ｍ＋ｎ）／（ｌ＋ｍ＋ｎ）△ＡＢＤ＝ｎ／（ｌ＋ｍ＋ｎ）△ＡＢＣ
△ＰＢＤ＝ｌ／（ｌ＋ｍ＋ｎ）△ＡＢＤ＝ｌｎ／（ｌ＋ｍ＋ｎ）（ｎ＋ｍ）△ＡＢＣ
△ＡＣＰ＝（ｍ＋ｎ）／（ｌ＋ｍ＋ｎ）△ＡＣＤ＝ｍ／（ｌ＋ｍ＋ｎ）△ＡＢＣ
△ＰＣＤ＝ｌ／（ｌ＋ｍ＋ｎ）△ＡＣＤ＝ｌｍ／（ｌ＋ｍ＋ｎ）（ｎ＋ｍ）△ＡＢＣ

∴△ＰＢＣ＝△ＰＢＤ＋△ＰＣＤ＝ｌ／（ｌ＋ｍ＋ｎ）△ＡＢＣ

です。

お礼

丁寧な説明ありがとうございました。
とても理解ができました。
ありがとうございます。