解答してみたんですが…

質問

自信がないので、間違っていたら教えてください。

△ABCの内部に点Pを、2PA＋PB＋2PC＝0を満たすようにとる。APとBCの交点をDとし、△PAB、△PBC、△PCAの重心をそれぞれE、F、Gとする。
△EEGと△PDCの面積の比を求めよ。

という問題です。

自分でやったところ
△EFG：△PDC＝5：2になりました。答えが違ったら教えてください。

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

間違っていなければよいのですがオンラインで書いてます。

各点の位置ベクトルを a, b, c, d, p とすると

p = (2a+b+2c)/5

d = p + α(p-a)=tb+(1-t)cとして解くと α=2/3, t=1/3 なのでで
d=(1/3)b + (2/3)c = c + (1/3)(b-c) ⇒長さ DC = 長さBCの 3/1

各重心は
e = (a+b+p)/3 = (7a+6b+2c)/15
f = (b+c+p)/3 = (2a+6b+7c)/15
g = (a+c+p)/3 = (7a+1b+7c)/15

e-f = (a-c)/3
f-g = (b-a)/3
g-e = (c-b)/3

つまり三角形EFG の各辺はは三角形ABCと平行、たうまり相似形で大きさが
1/3 なので面積は 1/9

一方、α=2/3なので
PDの長さ = APの長さ X α = ADの長さ X (α/(1+α)) = ADの長さ x 2/5
DCの長さ = BCの長さ X (1/3) だから
三角形PDCの面積は三角形ABCの (2/5)X(1/3) = 2/15 倍

なので三角形EFGの面積:三角形PDCの面積 1/9 : 2/15 = 1/3 : 2/5 = 5:6

お礼

ありがとうございます(^^)

回答No.1

noname#145525

2PA＋PB＋2PC＝0
線の長さを足してゼロってことは無いでしょう。問題文の誤りか、またはベクトルであるかのどちらかですよ。

補足

あっすいません。
ベクトルの問題です(__)