3次元空間で3つの三角形の面積が等しいような軌跡

質問

3次元空間に△ABCがあります。

もう一点Pをとり、△PAB＝△PBC＝△PCAを満たすように動くとき、Pの軌跡はどのようになるのでしょうか？

Pは△ABCの重心を通ることは分かりますが、それ以外の特徴がありましたら教えてください。

回答No.1

muturajcp

△ABCの
頂点ベクトルA,B,Cに対して
P0=(A+B+C)/3,(重心)
P1=A+B-C
P2=B+C-A
P3=C+A-B
とすると
PはP0,P1,P2,P3を通る

例)△ABCが正三角形の場合
A=(2,0,0)
B=(-1,√3,0)
C=(-1,-√3,0)
とすると
P0=(A+B+C)/3=(0,0,0)
P1=A+B-C=(2,2√3,0)
P2=B+C-A=(-4,0,0)
P3=C+A-B=(2,-2√3,0)
P=P0+z(0,0,1)=(0,0,z)のとき
|△PAB|=2√{3(z^2+1)}
=|△PBC|=2√{3(z^2+1)}
=|△PCA|=2√{3(z^2+1)}
P=P1+z(0,0,1)=(2,2√3,z)または
P=P2+z(0,0,1)=(-4,0,z)または
P=P3+z(0,0,1)=(2,-2√3,z)のとき
|△PAB|=2√{3(z^2+9)}
=|△PBC|=2√{3(z^2+9)}
=|△PCA|=2√{3(z^2+9)}
∴△ABCが正三角形の場合
Pの軌跡はP0,P1,P2,P3を通る△ABCに垂直な4本の直線を含む