図形の問題です

質問

（１）三角形ＡＢＣと点Ｐに対して、次の２つの条件は同値であることを証明せよ。
　　（i）点Ｐは三角形ＡＢＣの内部（週は除く）にある。
　　（ii）正の数a,b,cがあって、aPA+bPB+cPC=0(PA,PB,PCにはベクトル記号）が成り立つ。
（２）（ii）のとき、△ＰＢＣ：△ＰＡＣ：△ＰＡＢの面積比を求めよ。

回答No.2

ereserve67 · ベストアンサー

（１）AB=u,AC=vとおきます．p=APとおくと

p=su+tv（☆）

とかけます．このとき教科書通り

(i)⇔s>0,t>0,s+t<1（★）

です．

さて，(i)が成り立つとします．

p=-PA
u=AP+PB=-PA+PB
v=AP+PC=-PA+PC

を☆に代入すると

-PA=s(-PA+PB)+t(-PA+PC)

0=(1-s-t)PA+sPB+tPC

a=1-s-t,b=s,c=tとおくとこれらは★によりすべて正で

aPA+bPB+cPC=0

となるから(ii)が成り立ちます．

逆に(ii)が成り立つとき

a(-p)+b(u-p)+c(v-p)=0

(a+b+c)p=bu+cv

p={b/(a+b+c)}u+{c/(a+b+c)}v（※）

ここでs=b/(a+b+c),t=c/(a+b+c)とおくと

p=su+tv

s>0,t>0
1-s-t=1-(b+c)/(a+b+c)=a/(a+b+c)>0

となり☆，★が成り立ち，(i)が成り立つます．

こうして

(i)⇔(ii)

であることがわかりました．

（２）※より

AP={b/(a+b+c)}AB+{c/(a+b+c)}AC

ここで点Qを

AQ=(bAB+cAC)/(c+b)

で定義すると

Qは辺BCをc:bに内分する点

です．そして

AP={(b+c)/(a+b+c)}AQ

だから

Pは線分AQを(b+c):(a+b+c)に内分する点

です．三角形ABCの面積をSとすると（Qを含む図を描いてください）

△PBC={a/(a+b+c)}S

△PAC={(b+c)/(a+b+c)}△ACQ
△ACQ={b/(b+c)}S
∴△PAC={b/(a+b+c)}S

△PAB={(b+c)/(a+b+c)}△ABQ
△ABQ={c/(b+c)}S
∴△PAB={c/(a+b+c)}S

よって

△PBC：△PAC：△PAB
={a/(a+b+c)}S：{b/(a+b+c)}S：{c/(a+b+c)}S
=a：b：c

となります．

回答No.1

LinguaFranca

一応ヒントになるようなことを書いておきました。

（1）は始点をＡにそろえることがコツです。

三角形ＡＢＣの内部であることは、a>0,b>0,c>0であることと関係があります。

（2）は一つ一つ比を考えれば分かります。

分からなかったらまた質問してね＾＾

頑張って。