場合の数（文字の並べ方）

質問

（問題）
ＫＥＮＳＡの５文字を、ＥがＡよりも左にある並べ方は何通りか。

答え　５！／２！＝６０通り

私の考え方は、ＥがＡより左なので、
Ｅ○○○○
●Ｅ○○○
●●Ｅ○○
●●●ＥＡ
○にＡがくるような並べ方を考えました。
※６０通りにはなりませんでした。

ヒントで、“ＥとＡは同じ文字とみなして、１列に並べると考える。”とあるのですが、何故そう考えるのでしょうか？
☆何故、ＥとＡは同じ文字とみなすのか？→ＥはＡよりも左にないといけないですよね・・・。同じ文字とみなしたらＡＥ（ＥがＡの右）という並びでもよくなりませんか？
☆何故、５！／２！の式を使うのか？
☆他に解りやすい考え方などがありますか？

教えて下さい！宜しくお願い致します！

回答No.5

freedom560 · ベストアンサー

No.4 です。

＞だから全ての並び替えである５！を２！（でも何故単純に÷２にしないのでしょうね）で割るのですね。

「単純に２で割らずに２！で割っている理由」は、No.2さんが書いているように
＞Aがp個，Bがq個，Cがr個…，全部合わせてx個あるものを一列に並べる並べ方は，
x!/(p!q!r!…)　通り。
ということなのです。

具体的に言うと、「ＫＥＮＳＡの５文字を、ＫがＥより左にあり、かつＥがＡよりも左にある並べ方は何通りか。」という問題があったときに、同様に「ＫとＥとＡを一つにみなして」５！／３！で求められると言うことです。

あなたが理解した

＞ＥＡパターン（ＥがＡより左）、ＡＥパターン（ＥがＡより右）、半々の確率なんですね

という理由に似た理由付けをするとするとＫＥＡ，ＫＡＥ、ＥＫＡ，ＥＡＫ，ＡＫＥ，ＡＥＫのうちＫＥＡになるパターンが１÷３！で求められたと言うところです。（３！になる理由わかりましたか？）

＞一行目と四行目は理解できるのですが、二行目と三行目が解り難いです。

では２行目を具体的に考えてみます。
(1) □ＥＡ□□ のとき
□にＫ，Ｎ，Ｓを並べる方法は３！通り
(2) □Ｅ□Ａ□ のとき
□にＫ，Ｎ，Ｓを並べる方法は３！通り
(3) □Ｅ□□Ａ のとき
□にＫ，Ｎ，Ｓを並べる方法は３！通り
つまり、３！が３つあるので３×３！通りです。

３行目も同様に
(1') □□ＥＡ□ のとき
□にＫ，Ｎ，Ｓを並べる方法は３！通り
(2') □□Ｅ□Ａ のとき
□にＫ，Ｎ，Ｓを並べる方法は３！通り
つまり、３！が２つあるので２×３！通りです。

(1),(2),(3),(1'),(2')という場合分けができることとそれらでそれぞれ３！通りになることさえわかれば理解できるのではないでしょうか。

お礼

２、３行目の詳しい回答、ありがとうございました。
何故、このような計算で解くのかが、とてもよく解りました。
☆私が問題を解く時は、順列なのか組合せなのか等の判断に迷い、どの式を使うのか決まらないので、まずは実際のパターンを書いてみることが殆どなのです。←時間がかかるので、試験の時は辛いですね・・・。

回答No.9

puni2

#2です。（#7さん割り込んでしまってごめんなさい。）

>問題２と問題３は、どの文字同士を同じ文字で置き換えて解いているのですか？

問題2では，ABCの3文字を同一視して，さらにDEFの3文字を同一視します。
というのは，

>（ＡがＢより左）かつ（ＢがＣより左）かつ（ＤがＥより左）かつ（ＥがＦより左）
という条件のうち，「Ａ→Ｂ」と「Ｂ→Ｃ」はつながっていますよね。
同様に「Ｄ→Ｅ」と「Ｅ→Ｆ」もつながっています。

したがって，それぞれを1グループと考える必要があります。

つまり，xxxyyyGHIの9文字を並び替えた上で，xxxを左から順にA, B, Cと置き換え，yyyは左から順にD, E, Fと置き換えると考えるわけです。
たとえば，xxIyHyGyxとなったとしたら，ABIDHEGFCとするわけです。

こうすれば，「A→B→C」「D→E→F」という順序は必ず保たれますね。

同様に，問題3では，ABCを同一視し，DEFを同一視し，GHIを同一視します。
つまり，xxxyyyzzzの9文字を並び替え，その結果を，xxxは左から順にA, B, Cに置き換え，yyyは左から順にD, E, Fに置き換え，zzzは左から順にG, H, Iに置き換えるわけです。

お礼

アドバイス、ありがとうございます！
早急な解説は、質問者の私からは、とても助かります。
問題のパターンを覚えれば（数をこなして解いていけば）、もっと解けるようになるとは思うのですが、数学は苦手なので、ついついおっくうになるんですよね（苦笑）
でも、puni2さんや回答していただいた皆様のお陰で、また１つ問題を解決することが出来ました。
今回のポイント発行は、お世話になりました皆様全員に差し上げたいのですが、
(1)私にとって解説が解りやすかった事
(2)解説いただいた回数
等を考慮して、発行いたしました。
皆様ありがとうございました。

回答No.8

nuruo

Ｎｏ６のものです．すいません，私の間違いです．
質問者の方のいうとおりです．
ご名答っす(笑)．
Ｎｏ７の方補足部分ありがとうございます．
７！/３！ですね．そうしないと，問題字がＥ，Ａ，Ｉの３文字なもんで．これを同じ文字としてみることができないですもんね．まだまだ，勉強不足っす．ありがとうございました．
７！/４！を７！/３！に変更してください．
ごちゃごちゃ書いてすいません．
この訂正でわかりましたか？
わからなかったら，どんどん指摘してください(笑)

お礼

はい！わかりました（笑）
これからも宜しくお願い致します。

回答No.7

freedom560

No.4 です。

＞☆私が問題を解く時は、順列なのか組合せなのか等の判断に迷い、どの式を使うのか決まらないので、まずは実際のパターンを書いてみることが殆どなのです。←時間がかかるので、試験の時は辛いですね・・・。
順列や組み合わせがまだ苦手なのですね。試験のことを考えるのならば、やはり同じような問題を何度も解いて使い方を理解すること（または袋の中の赤球・白球の問題のような有名なパターンを覚えること）が重要だと思います。

例えば、今回の問題を組み合わせの概念を使って解くならば、
1) ○○○○○の中からＥ，Ａを入れる２つを選ぶ
これは５個の○の中から２つを選ぶことに相当するので、5Ｃ2
2) 残りの３個の○にはＫ，Ｎ，Ｓが順列で入るので、３！
∴ 5Ｃ2×３！＝６０
という解き方もあると思います。

数学なので、考え方さえしっかりしていて、その考えを示すことができていればどんな解き方で解いても正解です。Ｅ，Ａから決定してもＫ，Ｎ，Ｓから決定しても同じ文字でみなしても全て正解です。

ただ、N0.2さんが書いている
＞Aがp個，Bがq個，Cがr個…，全部合わせてx個あるものを一列に並べる並べ方は，
＞x!/(p!q!r!…)　通り
を使って解く方法が＜試験における時間のことを考えるのならば＞一番よいので下の問題を参考にして理解しておきましょう。

問題１
ＡＢＣＤＥＦＧＨＩの９文字を並び替えるとき、（ＡがＢより左）かつ（ＢがＣより左）になる並び方の場合の数を求めよ

これは今までと全く同じ　９！／３！＝６０４８０　で求まります。

問題２
ＡＢＣＤＥＦＧＨＩの９文字を並び替えるとき、（ＡがＢより左）かつ（ＢがＣより左）かつ（ＤがＥより左）かつ（ＥがＦより左）になる並び方の場合の数を求めよ

問題３
ＡＢＣＤＥＦＧＨＩの９文字を並び替えるとき、（ＡがＢより左）かつ（ＢがＣより左）かつ（ＤがＥより左）かつ（ＥがＦより左）かつ（ＧがＨより左）かつ（ＨがＩより左）になる並び方の場合の数を求めよ

わかりましたか？たぶん問題２や問題３になると最初に位置を決定する方法では手におえないのではないでしょうか？

今までの説明で文字の順序を決めたものの並び替えが同じ文字で置き換えたと考えてよいことが理解できていると仮定して、回答を書くと
問題２　　９！／（３！×３！）＝１００８０
問題３　　９！／（３！×３！×３！）＝１６８０
です。

場合わけをしなくても回答をすぐに求めることのできるすばらしい公式なので理解しておきましょう。

＃最後に補足ですが、nＰm＝ｎ！／（ｎ－ｍ）！なので７Ｐ４＝７！／３！です。

お礼

No.9の方が解説していただいたので、問題２、３は理解することが出来ました。
これまで、何度も回答をいただき、ありがとうございました。

補足

ヒントを頂きたいのですが・・・。
問題２と問題３は、どの文字同士を同じ文字で置き換えて解いているのですか？

回答No.6

nuruo

問題字(Ｅ，Ａ)の位置から決めるのではなく，問題字以外の文字(Ｋ，Ｎ，Ｓ)から決定して言ってはいかがですか？

全部で５ヵ所に文字を置くことができます．
(１)Ｋを置く位置を決定する
Ｋを置くことが出来る位置は全部で５ヵ所．
(２)Ｎを置く位置を決定する
Ｎを置くことが出来る位置はＫを置いた位置以外なので４ヶ所
(３)Ｓを置く位置を決定する
Ｓを置くことが出来る位置はＫとＮを置いた位置以外なので３ヶ所

すると残り２ヶ所文字を置くことができます．

もし，ＥとＡに関して順序の指定がないのであれば
(４)Ｅを置く位置を決定する
Ｅを置く事の出来る位置はＫ，Ｎ，Ｓが置いてある位置以外なので２ヶ所ある
(５)Ａを置く位置を決定する
残りの１ヶ所が自動的にＡの位置になります．

よって，５×４×３×２×１＝１２０となります
この式を書き換えると
５Ｐ５＝５！

今回の問題はＥとＡには順序が指定してありますので，
(４)’Ｅを置く位置を決定する
残りの２ヶ所の位置の左側にある位置に入れなければいけないので１ヶ所
(５)’Ａを置く位置を決定する
自動的に残りの１ヶ所がＡの位置になる

よって，５×４×３×１×１＝６０となります．
この式を書き直すと
５×４×３＝５Ｐ３＝５！/２！

この方法で似たような問題を考えて見ましょう

ＫＥＮＳＡＴＩの７文字の並び替えを考えますが，ＥはＡよりも前に，ＡはＩよりも前に並ぶ並び方は何通りありますか

では，この問題での問題字はＥ，Ａ，Ｉの３文字です．これ以外から並べてあげましょう．今回文字を置く事ができる位置は７ヶ所あります．

(１)Ｋを置く位置を決定する
Ｋを置くことが出来る位置は全部で７ヵ所．
(２)Ｎを置く位置を決定する
Ｎを置くことが出来る位置はＫを置いた位置以外なので６ヶ所
(３)Ｓを置く位置を決定する
Ｓを置くことが出来る位置はＫとＮを置いた位置以外なので５ヶ所
(４)Ｔを置く位置を決定する
Ｔを置くことが出来る位置はＫ，Ｎ，Ｓを置いた位置以外なので４ヶ所

ここで問題字の位置を決定していきます．置くことが出来る位置は残り３ヶ所です．

(５)Ｅを置く位置を決定する
残りの３ヶ所の位置の中で最も左側にある１ヶ所のみ
(６)Ａを置く位置を決定する
Ｅを置いた以外の残り２ヶ所の中で左側にある１ヶ所のみ
(７)Ｉを置く位置を決定する
自動的に残りの１ヶ所

よって，７×６×５×４×１×１×１＝８４０
この式を書き換えると
７×６×５×４＝７Ｐ４＝７！/４！

こんな感じどうですか？

同じ文字としてみなしてよいと言うのは便利ではありますが結果論に過ぎず，どちらかというとfukurou-さんが書いているやり方や上記のやり方が自然かと思います．

補足

回答ありがとうございます。
なるほど！問題のＥＡ以外の文字に着目して、解いていく方法もアリですね。
ところで、例題のＫＥＮＳＡＴＩの答えですが、
７！／４！の計算の答えは８４０ではなく、２１０ではありませんか？
７Ｐ４≠７！／４！になってしまうように思うのですが。
私の計算違い！？ですか。

回答No.4

freedom560

まず、あなたの考え方はあっています。

Ｅ○○○○　のとき
○の中に残りの４種を並べればいいので 4!

●Ｅ○○○　のとき
○の中のどれかにＡを、残りの３つに残りの３種を並べればいいので 3×3!

同様に
●●Ｅ○○　のとき2×3!
●●●ＥＡ　のとき1×3!なので・・

4!+3×3!+2×3!+1×3!=(4+3+2+1)×3!=60 です。

さて、本題ですが、同じ文字とみなすと言うか、まずはとりあえず５個を並べてみるんです。つまり、５！。すると、あなたが考えたとおり（ＥがＡの右）という並び方も考えていますよね？ここで、（ＥがＡの右）の場合をなくすために２！で割っているのです。

「同じ文字とみなす」と書いてあるのは「ＥとＡが同じ文字とみなしたときの考え方とまったく同じ数式で解ける」というくらいの意味です。（ＫＡＮＳＡという文字の並べ方を考えるときに重複を省くための２！で割ると言う操作と、今回の問題でＥがＡより後であることを省くための２！で割ると言う操作は似てますよね？？）

補足

回答ありがとうございます。
私の考え方、あっていてよかったです。先ほどやり直しましたが、計算方法を間違えていました。
自分で書いた、Ｅ○○○○からの一～四行をみて思ったのですが、ＥＡパターン（ＥがＡより左）、ＡＥパターン（ＥがＡより右）、半々の確率なんですね。
だから全ての並び替えである５！を２！（でも何故単純に÷２にしないのでしょうね）で割るのですね。

一行目と四行目は理解できるのですが、二行目と三行目が解り難いです。
一行目は、空きの、どの○でも文字を自由に並び替えできますし、四行目は右にＥＡと固定されているので、●の中で残りの３文字を自由に並び替えればいいですよね。
二行目と三行目はＡの入る○が選べて、そしてさらに他の文字について並びを考えるので、そのあたりがわかりづらいのだと思います。
今でも、そこがよくわからないですね・・・。

回答No.3

Jodie0625

どっちが右にあるか左にあるかを意識せずに並べると、５！通りですよね。

今度は注目する文字、「Ａ」「Ｅ」について考えてみます。
ある並びがあるとき、ＡとＥが入れ替わっていて他は同じという並びが、上の５！通りの中には必ず入っています。たとえば、○○ＡＥ○と、○○ＥＡ○です。

ＡとＥが同じ文字と考える、つまり仮に「Ｘ］としましょう。Ｋ，Ｘ，Ｎ，Ｓ、Ｘを並べるとき、二つのＸは区別が付きませんから、求める並び替えの数は、５！／２！です。
これで求まった全部の並べ替え例で並び順の最初に出てくるＸをＥと置きかえると、あら不思議。
ＡがＥより左に来ている並び方は含まれていませんね。

補足

回答ありがとうございます。
ニュアンスは何となく伝わってくるような気がします。

回答No.2

puni2

「EとAは同じ文字と見なす」というのは，本当はKENSAの5文字なんだけれども，とりあえず「KENSE」という5文字だと考えてください，ということです。
KENSEを並び替えるやりかたは，「同じものを含む順列」で5!/2!になりますね。

「同じものを含む順列」を，一般化して書くと，次のようになります。
Aがp個，Bがq個，Cがr個…，全部合わせてx個あるものを一列に並べる並べ方は，
x!/(p!q!r!…)　通り。

今の場合，Kが1個，Eが2個，Nが1個，Sが1個ですので，
5!/(1! 2! 1! 1!)
ですから，1!を省けば5!/2!（＝60）通りになります。

これらの60通りの文字列は，たとえばこんな風になっているでしょう。
EEKSN
SENKE
NSKEE
などなど。
そこで，2つあるEのうち，右側にある方を，Aにもどしてやります。（←ここがポイントです）
そうすれば，「KENSAの5文字を使い，かつ，EがAより左にある文字列」が全部作れたことになります。

つまり，こういうことです。
KENSAを普通に並び替えると，5!=120通り。
そのうち，EとAに関してみると，E-Aの順になっているものが60通り。
逆にA-Eの順になっているものを作りたければ，元に戻すときに，さっきとは逆にして，2つあるEのうち，左にある方を，Aに戻せばよいわけです。

ところで
>私の考え方は、ＥがＡより左なので、
>Ｅ○○○○
>●Ｅ○○○
>●●Ｅ○○
>●●●ＥＡ
>○にＡがくるような並べ方を考えました。
>※６０通りにはなりませんでした。

おかしいなあ。これでも（手間はかかるけど）なるはずです。

Ｅ○○○○　…KNSAの4文字を並べるから4!=24
●Ｅ○○○　…まずAを3箇所の○のどこかに置く。
　そのそれぞれに対して，KNSの3文字を残った3文字（●1つと○2つ）に並べるから，3×3!=18
●●Ｅ○○　…まずAを2箇所の○のどちらかに置く。あとは同様で，2×3!=12
●●●ＥＡ　…KNSの3文字を並べるから，3!=6
以上より，24+18+12+6=60

ほら，合いました。

補足

回答ありがとうございます。
普通に並び替えて５！（１２０通り）。で、ＥＡに並んでいるのは６０通り（単純に半分の確率？という考えなのでしょうか？）
前半の回答は、んんん・・・少し難解です。

あ～、確かに私の方法は手間がかかります（汗）
やり直したら、６０通りになりました。
二行目（●Ｅ○○○）と三行目（●●Ｅ○○）で各パターンを足し算すればいいところを掛算して、数字が倍になっていました。
二行目→６×６×６＝２１６
三行目→４×４×４＝６４
で計算していました。
一行目４！、四行目３！で計算したので、同じような感覚で掛算していました。

一行目と四行目は理解できるのですが、二行目と三行目が解り難いです。
一行目は、空きの、どの○でも文字を自由に並び替えできますし、四行目は右にＥＡと固定されているので、●の中で残りの３文字を自由に並び替えればいいですよね。
二行目と三行目はＡの入る○が選べて、そしてさらに他の文字について並びを考えるので、そのあたりがわかりづらいのだと思います。
今でも、そこがよくわからないですね・・・。

回答No.1

pocopeco

★あなたのやりかたでもできますよ。
一行目：残り４つに４つの文字を並べる。4！＝24
二行目：Aは左３つのうちのどれか。残りは制約なく３箇所にあてはめる。3＊3！＝18
三行目：同様に２＊3！＝12
四行目;３！＝6

★EAを同じ文字とみなす方法
とりあえず、５箇所の中から２箇所決めます。この２箇所のうち、左側にE 、右側にAを入れるというルールのもとで考えているのでAEはありません。
５個から２個選び、残りの空欄に３つの文字を並べます。5C2＊３！

★全部の並べかたで、Eの左側にA,Aの左側にEのどちらかです。そして、全部の並べかたを考えると、Eの左側にA,Aの左側にEは、同じ数あるはずです。
なので５個を並べる方法の半分。5！／2

補足

アドバイスありがとうございます。
一行目と四行目は理解できるのですが、二行目と三行目が解り難いです。
一行目は、空きの、どの○でも文字を自由に並び替えできますし、四行目は右にＥＡと固定されているので、●の中で残りの３文字を自由に並び替えればいいですよね。
二行目と三行目はＡの入る○が選べて、そしてさらに他の文字について並びを考えるので、そのあたりがわかりづらいのだと思います。
今でも、そこがよくわからないですね・・・。

★ＥＡを同じ文字とみなす方法
★全部の並べかたで・・・
の説明はわかりやすかったです。