場合の数

質問

１.　赤玉２個と青玉２個の入った箱の中から、１個ずつ順に玉を取り出す。全部の玉を取り出す時、出た色の順序の違いを考えると、玉の出方は何通りあるかを答えなさい。

２．10枚の異なるカードのうちの３枚をA、B、C　の３人に１枚ずつ配る時、配り方は何通りあるか答えなさい。

３. ６人の候補選手の中から、リレーの第１走者から第４走者までを選ぶ時、４人の走者の選び方は何通りあるか答えなさい。

４.　５個の文字　 a、a、a、b、c　から３個の文字を選んで１列に並べる方法は、全部で何通りあるか求めなさい。

５．次の事柄の逆を述べなさい。また、逆が、正しいかどうかを調べなさい、違えば理由も言いなさい。

△ABCと△DEFにおいて、△ABC≡△DEFならばAB＝DE、AC＝DF、∠B＝∠Eである。

回答No.3

中村 拓男（@tknakamuri） · ベストアンサー

問題が多いので簡潔に

1. 色の出方は、４個の場所の２箇所を赤する場合の数なので、4C2=6 通り
2. 単純に順列の問題 10P3=720
3. 単純に順列の問題 6P4 = 360 通り
4. a同士は区別がつかないので、使うaの数で分けて考えると
a３個→1通り、a２個b１個->3C2=３通り、a２個c１個→3C2=3通り、a１個b１個c１個=3P3=6通り
1 + 3 + 3 + 6 = 13通り
5. 逆は
AB＝DE ∧ AC＝DF ∧ ∠B＝∠E → △ABC≡△DEF

で正しくない。理由。AB＝DE ∧ AC＝DF ∧ ∠B＝∠E　は３角形の合同条件を満たしていない。

回答No.2

coffeedog

1．玉は全部で4個、出し方は　４Ｐ４　通りです。
　　赤と青の玉がそれぞれ同色同士入れ替わっても違いがないので、
　　　÷２Ｃ２　を赤玉の分、青玉の分の計２回行います。

　4P4　÷　２Ｃ２　÷　２Ｃ２
　　＝4×3×2÷2÷２
　　＝6

　　　答えは6通りです。

2.　カードの取り出し方は、10枚から3枚取り出すので　１０Ｃ３　通りです。
　　出された３枚のカードの分配は３人全員に一枚ずつ分配ですから　３Ｐ３　通りです。
　　カードの出し方1パターンにつき配り方が3P3通りなので、
　　カードの出し方数　×　配り方数　＝　答え　　　　　　です。

　10Ｃ３　×　３Ｐ３　＝　10×9×8　÷3÷2÷1　×　3×2×1
　　　　　　　　　　　　＝　720

　　　答えは720通り

3.　6人から4人を選ぶ方法は６Ｃ４通り
　　選んだ４人の走者をそれぞれ1～4走者に割り当てる方法は４Ｐ４通り
　　全問と同じ様に　選び方数　×　割り当て方法　＝　答え　です。

　６Ｃ４　×　４Ｐ４　＝　6×5×4×3　÷4÷3÷2÷1　×4×3×2×1
　　　　　　　　　　　　＝15　×　24
　　　　　　　　　　　　＝360

　　　答えは　360通り

4.　ａが３つあるので、
　　選んだ３つの数にａが１つ含まれる場合、残りの2文字は必然的にｂ，ｃになります。　
　　　　　ａ，ｂ，ｃの並びかたは　３Ｐ３　通り

　　選んだ３つの数にａが2つ含まれる場合、残りの1文字はｂである場合とｃである場合の２通りあるので
　　　　　３Ｃ２　×2

　　選んだ３つの数にａが3つの場合。順序は関係なく1通りである。

　　これらすべてを合わせると
　　３Ｐ３　　+　　３Ｃ２　×2　　+1　＝　3×2×1　+　3×2÷2×2　+1
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝13

　　答えは13通り

　　この程度の問題ならすべて書き出してもよいでしょう

　ａ，ａ，ａ　　　　　ａ，ａ，ｂ　　　　　　ａ，ａ，ｃ，　　　　ａ，ｂ，ｃ
　　　　　　　　　　ａ，ｂ，ａ　　　　　　ａ，ｃ，ａ　　　　　ａ，ｃ，ｂ
　　　　　　　　　　ｂ，ａ，ａ　　　　　　ｃ，ａ，ａ　　　　　ｂ，ａ，ｃ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｂ，ｃ，ａ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｃ，ａ，ｂ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｃ，ｂ，ａ
　　やっぱり13通りですね。

5.　　逆は　「△ABCと△DEFにおいてAB＝DE、AC＝DF、∠B＝∠E　ならば△ABC≡△DEFである」
　　　　そしてこれは正しくない。

　　　　三角形の合同条件は
　　　　(1)3辺の長さが等しい
　　　　(2)2辺の長さとその間の角が等しい
　　　　(3)1辺の長さとその両端の角が等しい
　　　　の３つであり、△ABCと△DEFにおいてAB＝DE、AC＝DF、∠B＝∠E
　　　　では、∠Ｂおよび∠Ｅは長さの等しい２辺の間の角ではなく、
　　　　　　　　(2)の条件を満たしていないからです。　

　　　　　AB＝DE、AC＝DF、∠Ａ＝∠Ｄ　という問題文であれば、、
　　　　　条件(2)において合同条件を満たし、逆も正しいといえました。

回答No.1

noboundly

１）６通り
２）７２０通り
３）３６０通り
４）１３通り
５）AB＝DE、AC＝DF、∠B＝∠E　ならば　△ABC≡△DEF　正しい

補足

(5)の問題では合同条件を満たしていませんが、正しい理由を教えてください