ベストアンサー Arccosの原始関数って… 2006/02/21 21:41 今日数IIIＣの授業で回転体の求積の話でちらっとarccosがでてきてふと思ったのですが、arccosを不定積分するとどうなるのでしょうか？おわかりのかた是非御指南お願いいたします みんなの回答 （3） 専門家の回答 質問者が選んだベストアンサー ベストアンサー KENZOU ベストアンサー率54% (241/444) 2006/02/21 23:21 回答No.2 I=∫arccosxdx arccosx=θとおくとx=cosθ，dx=-sinθ*dθ ということで I=-∫θsinθdθ これを部分積分すると I=θcosθ-∫cosθdθ=θcosθ-sinθ=x*arccosx-√(1-x^2) 質問者 お礼 2006/02/22 23:30 なるほど！置換積分でやればいいんですね。ありがとうございます。∫arccos^2xdxを同様のやり方でやったところ x*arccos^2x-2arccosx*√（１-x^2）+2x となりましたがあってるでしょうか？ 質問者 補足 2006/02/22 23:38 x*arccos^2x-2arccosx*√（１-x^2）-2x でした 広告を見て全文表示する ログインすると、全ての回答が全文表示されます。 通報する ありがとう 0 その他の回答 (2) rangeru ベストアンサー率34% (15/44) 2006/02/23 10:18 回答No.3 (1) y=arccosx とおくと、定義から (2) x=cosy であり、これを微分すると (3) dx=-siny となります。 これらを用いて、 ∫arccosx dx =∫y*(-sinydy) （∵式(1),(3)から) =∫y*(cosy)'dy （ ’は微分の意味） =ycosy-∫cosydy =ycosy-siny =ycosy-√(1-(cosy)^2) =x*arccosx-√(1-x^2) （∵式(1),(2)から) です。 あと、∫(arccosx)^2 dxの答えは書き込まれたのであってるはずです(計算しました）。 広告を見て全文表示する ログインすると、全ての回答が全文表示されます。 通報する ありがとう 0 ojisan7 ベストアンサー率47% (489/1029) 2006/02/21 21:49 回答No.1 -√(1-x^2)＋x*arccosx です。 質問者 お礼 2006/02/22 23:31 早急なご回答ありがとうございました。なるほどーという感じです 広告を見て全文表示する ログインすると、全ての回答が全文表示されます。 通報する ありがとう 0 カテゴリ 学問・教育数学・算数 関連するQ&A 「微分」と「導関数」 「不定積分」と「原始関数」 高校で授業をしていてふと疑問に思ったことです。 手元の高校の教科書（数研）では「導関数を求めること」を「微分する」と表現していて、 「微分」という言葉は演算を表す動詞で、その結果を表す名詞（？）ではないようなのですが、 f(x)に対してf'(x)のことを「fの微分」とも呼びませんでしたっけ？ 同じように積分に関してなんですが、 教科書では「F'(x)=f(x)であるF(x)をf(x)の不定積分または原始関数という」となっているんですが、 この「不定積分」と「原始関数」ってもともと別に定義していたように思うのです。 どうも、用語の使い分けが混乱しているので、 「微分」と「導関数」 「不定積分」と「原始関数」 この正式な使い分けについて、教えてほしいのです。 もっとも、高校ではあまり厳密にうだうだ言ってもかえって混乱するので、ある程度で流すわけですが。。。 よろしくお願いします。 ∫cosx*logxdx 現在高校２年です。数IIIＣまでは一通りできます。 ふと思ったのですが、∫cosx*logxdxの不定積分は求まるのですか？ なかなか良い方法が分かりません。求まるのであれば、どなたか教えて頂けないでしょうか。 数学III（体積）の「傘型求積」は用いてよい？ 最近斜回転体の体積を求めるのに、 円錐の側面積を積分する「傘型求積」を知りました。 しかし…これって大学入試で用いてよいのでしょうか？？？ 理屈的には高校の範囲を超えてないと思うんですが…。 以前Ｔ大学の教授に話を聞く機会があって、 その方は「ドンドン用いて下さい」と言っていたんですが…。 大学入試の研究もしている方なので信じたいのですが、 なんせこの方法を載せている参考書を見たことがない（ＴＴ） どうか教えて下さいm(_ _)m 天文学のお話。日本ではどのように考えられていた？ OKWAVE コラム 積分 授業中に問題で、「定積分を求めるのに何故不定積分が使えるのか」というのが出ました。両者とも被積分関数を積分したら原始関数になるので、という風に答えたのですが、いまいちよく分かりません。 どなたか教えて下さい。 傘型求積を教えてください！ こんにちは。 学校の授業で傘型求積？というものを習ったのですが、いまいち分かりません。。。 問題は、ｙ＝ｘとｙ＝ｘ＾２－ｘで囲まれた図形をｙ＝ｘを回転軸として回したときに できる立体の体積を求めよ、です。 答えは８√２π／１５になるらしいのですが、 求め方がよくわかりません。 傘型求積、ではどうやったらいいのか教えて下さい。 お願いします。 積分の問題なのですが教えてください！ こんにちは。 学校の授業で傘型求積？というものを習ったのですが、いまいち分かりません。。。 問題は、ｙ＝ｘとｙ＝ｘ＾２－ｘで囲まれた図形をｙ＝ｘを回転軸として回したときに できる立体の体積を求めよ、です。 答えは８√２π／１５になるらしいのですが、 求め方がよくわかりません。 傘型求積、ではどうやったらいいのか教えて下さい。 お願いします。 【三角関数の不定積分】 ∫dx/(a-bsinx)の不定積分を行いたいのですが、 良い方法が見つからず、困っています... 置換の方法や計算過程について、 数学の得意な方、ご教授願います。 よろしくお願い致します。 区分求積 回転体の体積（区分求積） ｙ＝ｘ＾２、ｙ＝ｘについて、ｘ＝０からｘ＝１まで両者で囲まれた、部分をｙ＝ｘを中心に回転させた体積を求めよ。 (解答）V=∫（０～１）π｛（ｘ－ｘ＾２／√２）＾２｝√２ｄｘとあるのですが、図のように√２（円柱部分の高さ）底辺の√２というのはどうやって出しているのでしょうか? 求積のシステム自体はわかっているのですが。 回転体の側面積と体積 回転体の側面積の求め方に興味が湧き、 積分による求積方法を知りました。 以下のウェブページがとても参考になったのですが、 http://21.xmbs.jp/shindou-294836-ch.php?guid=on その中で疑問に思うこと（考えてもわからない…）があります。 どうして、側面積の微小変化としてdxを選んではいけないのでしょうか？ 回転体の体積の微小変化にはdx（断面積×dx）を採用していいのに、 側面積ではds（断円周×ds）を採用しなければならない。 その違いはどこからくるのでしょうか？ 微小変化を考える場合、dsはdxで近似していいような気がするのですが、 どこに考え方の落とし穴があるのか教えてください（＊＿＊） 差分積分、数値積分の誤差について 学校でプログラミングの授業を受けています。 プログラミングといっても情報処理系の学科ではないため、基本的なことばかりなのですが その授業中に聞いたことでよくわからなかったことがあります。 走り書きでメモしたので正しいかはわかりませんが 差分積分と数値積分の誤差についての内容だったと思います。 差分積分って言葉自体あまり馴染みが無いのですが、差分近似と考えていいのでしょうか？ 差分近似ですと前進差分、後退差分、中心差分によって生じる誤差の違い、 数値積分に関しては区分求積法、台形公式法などの誤差の違いのことを言っているのでしょうか？ 差分近似によって生じる誤差の違い、数値積分によって生じる誤差の違いについて どなたか説明して頂けないでしょうか？簡単なもので全然構いません。 よろしくお願いいたします。 区分積分法の計算 以下の問題解き方がわかりません。 置換積分で解いてみたら、答えが10になったのですが、 区分積分法では、どのようにといたらよいか思案してます。 わかる方おられましたら、どのように解いたらよいか 解き方を教えていただけないでしょうか？ 【問題】 閉区間[1,3]をn等分して得られる分割を考え、 定積分の定義にしたがって(区分求積法を用いて)、次の計算をせよ。 ∫[1→3] (2x+1) dx 【答え】 ※2x+1=tとおく置換積分で解いたら10になったのですが、 区分求積法の計算方法がわかりません。 以上、ご指導のほど、よろしくお願いします。 常微分方程式が求積法で解けるための条件に関する研究論文はありますか？ 常微分方程式の解が，初等関数を有限回の微分と積分で表示した関数とします．このときの常微分方程式が求積法で解けるための条件は研究されていますか？ (1): どのような型の常微分方程式ならば求積法で解けるか，の研究論文．「求積法で解ける」という意味は，「初等関数を有限回の微分と積分で表示できる」です． (2): 任意の常微分方程式が与えられたとき，求積法で解けるかどうかの判定方法は存在しますか？（条件付きで，限られた範囲の判定法でもよい）． 以上に関して，何かご存知の方，教えて下さい． 日本史の転換点？：赤穂浪士、池田屋事件、禁門の変に見る武士の忠義と正義 OKWAVE コラム 不定積分 以下に示す不定積分が解けません。 どなたかお分かりになる方がいらっしゃいましたら アドバイスよろしくお願い致します。 【問題】 exp(-x^2)を不定積分を求めよ。 大学受験 数学 大問が４つあって、その中の１つのことなんですが、 (１)は不定積分を求める問題で、(２)が(１)を利用して定積分を解く、という大問だったのですが、 (１)の不定積分の答えの積分定数Ｃを書き忘れてしまいました。 この場合(１)は０点でしょうか… 受験数学に詳しい方お願いします(T_T) 経済数学の利潤関数を求める問題について ある国では財の消費量が追加的に一単位増えると国民の総便益が追加的に１００－２ｘ増加するとともに、費用が追加的に3ｘ増加する。ｘ≧０として以下の設問に答えよ。 （１）この国がｘ単位の財を消費したときの純便益（総便益から費用を差し引いた便益）を与える関数を求めよ。 という問題なのですが、今一つ問題の意味（？）が理解できず・・。「追加的に」とあるので限界の話なのだとは思うのですが、この場合純便益を求めるには１００－２ｘから３ｘをマイナスして積分をするのか、積分するとしてそれは不定積分なのか？・・などと混乱しております。 お時間のある方、どうか解説をお願いいたします。 不定積分でのCのつけ忘れ 僕の弟の話ですが、高校数学のテストの積分の問題で順調に全部解けていたらしいのですがテストが返ってきたらなんと40点しかなかったらしいです。なぜかというと不定積分で積分定数Cを付け忘れるという初歩的なミスをしてしまい不定積分の問題が全部0点だったということです。 本人はCを付け忘れているだけで数値はあっているから部分点ぐらいくれてもいいだろうと怒っていて先生に抗議したらしいですが却下されたらしいです。積分定数がそんなに大事なのか？と納得いかないようでした。Cのつけ忘れ0点は妥当なのでしょうか？もし受験ならCの付け忘れは0点なのでしょうか？教えてください ガウス積分２ 昨日も質問したのですが、進展があったので改めて質問させていただきます。 範囲が以下 [k,∞) (k>0) になるガウス積分を求めようと思い、次のように計算してみました。 I = ∫exp(-ax^2)dx I^2 = ∬rexp(-ar^2)drdθ ここまでは定石どおりです。 積分範囲は、x>k y>k の領域になるので、 r>k arccos(k/r)>θ>arcsin(k/r) よって、 I^2 = ∫[k→∞]rexp(-ar^2)dr ∫[arccos(k/r)→arcsin(k/r)]dθ = ∫r{ arccos(k/r)-arcsin(k/r) }exp(-ar^2)dr 部分積分してまとめる。 = (-1/4a){ πexp(-ak^2) + 4∫[k→∞] exp(-ar^2)dr/√(1-r^2) } もう一息で計算できそうなのですが、最後の積分方法が思いつきません。分かる方居りましたら、宜しくお願いします。 又、工科系で数学には疎いので、計算ミスなのどのお叱りも是非お願いします。 積分の問題です。 積分の問題です。 不定積分を求める問題で、 ∫{1/(x+√(x-1))}dx なのですが、どうやって解いたらいいのか分かりません＞＜ とても困っているので、分かる方がいれば教えてください！！ お願いします！！ 原始関数を教えて下さい。 sqrt(a^2+x^2)の積分された形教えて下さい。また、その際どのように置換するのかも教えて下さい。 原始関数について (1) 1/x*√(1+x^2)^3 (2) 1/(1+x^3)^4/3 これらの原始関数の求め方を教えてください 注目のQ&A 「You」や「I」が入った曲といえば？ Part2 結婚について考えていない大学生の彼氏について 関東の方に聞きたいです 大阪万博について 駅の清涼飲料水自販機 不倫の慰謝料の請求について 新型コロナウイルスがもたらした功績について教えて 旧姓を使う理由。 回復メディアの保存方法 好きな人を諦める方法 小諸市（長野県）在住でスキーやスノボをする方の用具 カテゴリ 学問・教育 人文・社会科学 語学 自然科学 数学・算数 応用科学（農工医） 学校 受験・進学 留学 その他（学問・教育） カテゴリ一覧を見る OKWAVE コラム 突然のトラブル？プリンター・メール・LINE編 携帯料金を賢く見直す！格安SIMと端末選びのポイントは？ 友達って必要？友情って何だろう 大震災時の現実とは？私たちができる備え 「結婚相談所は恥ずかしい」は時代遅れ！負け組の誤解と出会いの掴み方 あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVE セレクト コスメ化粧品 化粧水・クレンジングなど 健康食品・サプリ コンブチャなど バス用品 入浴剤・アミノ酸シャンプーなど スマホアプリ マッチングアプリなど ヘアケア 白髪染めヘアカラーなど インターネット回線 プロバイダ、光回線など
お礼
なるほど！置換積分でやればいいんですね。ありがとうございます。∫arccos^2xdxを同様のやり方でやったところ x*arccos^2x-2arccosx*√（１-x^2）+2x となりましたがあってるでしょうか？
補足
x*arccos^2x-2arccosx*√（１-x^2）-2x でした