Arccosの原始関数って…

質問

今日数IIIＣの授業で回転体の求積の話でちらっとarccosがでてきてふと思ったのですが、arccosを不定積分するとどうなるのでしょうか？おわかりのかた是非御指南お願いいたします

回答No.2

KENZOU · ベストアンサー

I=∫arccosxdx
arccosx=θとおくとx=cosθ，dx=-sinθ*dθ
ということで
I=-∫θsinθdθ
これを部分積分すると
I=θcosθ-∫cosθdθ=θcosθ-sinθ=x*arccosx-√(1-x^2)

お礼

なるほど！置換積分でやればいいんですね。ありがとうございます。∫arccos^2xdxを同様のやり方でやったところ
x*arccos^2x-2arccosx*√（１-x^2）+2x
となりましたがあってるでしょうか？

補足

x*arccos^2x-2arccosx*√（１-x^2）-2x
でした

回答No.3

rangeru

(1)　y=arccosx　　　　　　　　　　　　　　　　　
とおくと、定義から
(2)　x=cosy
であり、これを微分すると
(3)　dx=-siny
となります。

　これらを用いて、
　∫arccosx dx
=∫y*(-sinydy) 　　　　　 （∵式(1),(3)から)
=∫y*(cosy)'dy　　　　　　（　’は微分の意味）
=ycosy-∫cosydy
=ycosy-siny
=ycosy-√(1-(cosy)^2)
=x*arccosx-√(1-x^2) （∵式(1),(2)から)
です。

あと、∫(arccosx)^2 dxの答えは書き込まれたのであってるはずです(計算しました）。

回答No.1

ojisan7

-√(1-x^2)＋x*arccosx
です。

お礼

早急なご回答ありがとうございました。なるほどーという感じです