経済数学の利潤関数を求める問題について

質問

ある国では財の消費量が追加的に一単位増えると国民の総便益が追加的に１００－２ｘ増加するとともに、費用が追加的に3ｘ増加する。ｘ≧０として以下の設問に答えよ。

（１）この国がｘ単位の財を消費したときの純便益（総便益から費用を差し引いた便益）を与える関数を求めよ。

という問題なのですが、今一つ問題の意味（？）が理解できず・・。「追加的に」とあるので限界の話なのだとは思うのですが、この場合純便益を求めるには１００－２ｘから３ｘをマイナスして積分をするのか、積分するとしてそれは不定積分なのか？・・などと混乱しております。

お時間のある方、どうか解説をお願いいたします。

回答No.1

statecollege · ベストアンサー

簡単にいうと、逆需要曲線が

　p = 100 - 2x

で与えられ、社会的限界費用曲線が

MC(x) = 3x

で与えられている、というのと同じことです。ｐを縦軸にとり、ｘを横軸にとって描いた需要曲線（逆需要曲線）が限界便益曲線を表わしていることはご存知でしょう。　（どのミクロ経済学の教科書でもよいのですが、たとえば、八田達夫「ミクロ経済学I―市場の失敗と政府の失敗」（東洋経済新報社）の第3章には丁寧な説明があります。）したがって、限界便益から社会的限界費用を差し引いた限界純便益

　　　（100-2x) - 3x = 100-5x

を与えられた数量ｘまで積分した（０からｘまでの定積分）

　　　∫(0,x)(100-5s)ds

がこの社会が生産量ｘを生産し、消費したときの純便益（総余剰）です。ｘは問題で与えられるはずですが、たとえば、完全競争市場なら、社会的限界費用は(逆）供給曲線を表わし、ｘは均衡取引量であるし、独占市場なら、社会的限界費用は独占企業の限界費用曲線で、ｘは独占企業の利潤最大化生産量であるかもしれません。
なお、ここで与えられたように限界便益曲線も限界費用曲線も1次で与えられる（直線のグラフ）ときは、上記の定積分の値はグラフを描いて対応する3角形の面積（限界便益曲線と限界費用曲線の間の三角形の面積）を計算するだけで簡単に得られることはいうまでもないでしょう！

お礼

詳しい解説をありがとうございました！頑張って解いてみます。

回答No.2

statecollege

回答No1の追記。

＞（１）この国がｘ単位の財を消費したときの純便益（総便益から費用を差し引いた便益）を与える関数を求めよ。

に直接答えていませんが、わかりますよね！純便益関数(総余剰関数）をTS(ｘ）と書くと

　　　TS(x) = ∫(0,x)(100-5s)ds = [100s -(5/2)s^2](0,x) = 100x - (5/2)x^2

が(1)の答えです。(2)以降どんな質問があるのか知らないが、これをベースに答えることになるのでしょう！たとえば、問題の式が完全競争市場の需要曲線と供給曲線を表わしているとすれば、容易に計算できるように、均衡取引量はx=20となるので、このときの純便益(総余剰）は

　　　TS(20) = 100×20 - (5/2)×20＾2 = 1000

となる。