傘型求積を教えてください！

質問

こんにちは。
学校の授業で傘型求積？というものを習ったのですが、いまいち分かりません。。。
問題は、ｙ＝ｘとｙ＝ｘ＾２－ｘで囲まれた図形をｙ＝ｘを回転軸として回したときに
できる立体の体積を求めよ、です。
答えは８√２π／１５になるらしいのですが、 求め方がよくわかりません。
傘型求積、ではどうやったらいいのか教えて下さい。
お願いします。

回答No.1

DJ-Potato

y = x^2 - x 上の任意の点(a , a^2 - a)から、y = x までの距離dを測って、
半径がd、厚さが(√2)⊿x　の円盤の体積、の総和ですかね。
⊿xの前の(√2)は、回転軸の tan の逆数です。

(a , a^2 - a)から、y = x までの距離は、
傾き -1 で(a , a^2 - a)を通る直線Lと y = x の交点との距離なので、
L : y = -x + a^2
交点(a^2/2 , a^2/2)

d = √{(a - a^2/2)^2 + (a^2/2 - a)^2}
= √{2(a - a^2/2)^2}

⊿V = d^2 * π * (√2)⊿x
= 2√2・π・(x - a^2/2)^2・⊿x
= 2√2・π・(x^2 - x^3 + 1/4・x^4)・⊿x
V = 2√2・π・[1/3・x^3 - 1/4・x^4 + 1/20・x^5]0~2
= 2√2・π・(8/3 - 4 + 8/5)
= 8√2・π/15

補足

お返事ありがとうございます。
傘型求積が知りたいのですが。。。