原始関数を教えて下さい。

質問

sqrt(a^2+x^2)の積分された形教えて下さい。また、その際どのように置換するのかも教えて下さい。

回答No.2

mmky · ベストアンサー

参考程度に

∫√(x^2+a^2)dx
=(1/2){x√(x^2+a^2)+a^2log(x+√(x^2+a^2))｝

√(x^2+a^2)=x+t , (x-t. t-x, でも良い）と置けば
x＾2+a＾2=x＾2+2xt+t＾2
x=(-t＾2+a＾2)/2t, dx={(-t＾2-a＾2)/2t＾2}dt
√(x^2+a^2)=(-t＾2+a＾2)/2t +t=(t＾2+a＾2)/2t
で置換できますので、解けますね。
すこし整理が面倒なので、公式として覚えておくほうがいいでしょうね。

回答No.3

fushigichan

ichiro0000さん、こんばんは。

sqrt(a^2+x^2)=√(a^2+x^2)
ですね。このような関数を積分するには、
x+√(x^2+a^2)=t
とおくのが有効です。

（参考）√(a^2-x^2)の場合は、x=asinθ
　とおくのが有効です。

さて、
x+√(x^2+a^2)=t
√(x^2+a^2)=t-x
両辺２乗すると、
x^2+a^2=t^2-2tx+x^2
2tx=t^2-a^2
x=(t^2-a^2)/2t
と書けます。

そこで、dx={(t^2+a^2)/2t^2}dt
となるので、
∫√(x^2+a^2)dx=∫(t-x){(t^2+a^2)/2t^2}dt
=∫{(t^2+a^2)/2t}dt-∫{(t^2-a^2)/2t}{(t^2+a^2)/2t^2}dt
=1/2∫(t+a^2/t)dt-1/4∫{(t^4-a^4)t^3}dt
=t^2/4+a^2/2log|t|-1/4∫tdt+a^4/4∫t^(-3)dt
=t^2/8+a^2/2log|t|-a^4/8t^2+C
=1/8(t^2-a^4/t^2)+a^2/2log|t|+C

また、t-a^2/t=2x,t+a^2/t=2√(x^2+a^2)
なので、t^2-a^4/t^2=4x√(x^2+a^2)

ここで、t=x+√(x^2+a^2)と置いたので、

（与式)=(1/2)x√(x^2+a^2)+a^2/2log|x+√(x^2+a^2)|+C

のようになります。
ややこしいですが、解き方は覚えておかれると便利です。
頑張ってください。

回答No.1

ONEONE

x=atanθで置換すると
それが（a/cosθ）^2となって√が外れて・・・

お礼

有難うございました。自分でやってみると確かにできました。