1未満と1以下の違い

質問

言葉の定義で言うと1未満とは1を含まない1より小さい数であり、1以下とは1を含む1より小さい数であると理解しています。
しかし、1未満を1以外の1より小さい値を全て含むと考えると0.999....がその最大値となります。その値を3で割れば0.333....となり、これは1/3です。
再び3をかければ1になるので1未満と1以下の最大値は同値になるため1未満=1以下が言えるのではないでしょうか。
これを是とすればx<=1とx<1は同意であると考られると思うのですが、皆さんはどう思われますか。数学上の定説があればそれもご教授いただければ幸いです。

回答No.10

redbean · ベストアンサー

１未満の実数には最大値は存在しません。

ａ＜ｂなる２つの実数があるとき、ａ＜ｘ＜ｂなる
実数ｘが無限に存在します。 (a+b)/2 が実数である
ことから明らかでしょう。この事実を実数の稠密性と
いいますが、これから１未満の実数に最大値が存在
できないことは明らかと思います。

つまり、 0.999… = 1 ということです。
ですから未満と以下は同じ意味ではありません。

お礼

ご回答ありがとうございます。
この最大値が存在しないってところがポイントだとは思うんですけどね。
量で考えると1リットルと1リットルにもっとも近い最後の1という値を含まない量って同じになっちゃうような気がするんですよ。
x=1の部分の量は無限に小さい0.0000...1リットルのはずで、これは0じゃないかってね。
無限というのは本当に厄介ですね。

回答No.3

annie_x

> 0.333....となり、これは1/3です。

これが間違ってます。「limit」の考え方を学ぶとわかると思うのですが・・・。
すでに回答が寄せられているので、具体的に考えると以下のようになります。

「1未満」の最大値は、「1-x」です。
* x は0ではないけど、限りなく0に近い値です。

これを 3 でわると、次のようになります。
「1/3-x/3」

x は 0 ではないので「1/3-x/3」はどうやっても 1/3より小さい値になります。

これに再び 3 をかけると、次のようになります。
「1-x」

もとにもどりましたね。これは 1 ではありません。

回答No.2

on-drug

100Goldさんの書かれたことに論理矛盾があります。

「１未満」の最大値0.9999…を３で割った0.3333…は３をかけても１にならない数字なのです（「１になる」とおっしゃいますが、それは、100Goldさんが小数点以下の最小位を無意識に四捨五入してしまったからでしょう）。ですから、１未満と１以下は違います。

回答No.1

doyanen

私は文系の人間なんですが、面白い質問なので考えてみました。
1とは自然数ですが、１／３というのは分数で自然数ではありません。

ここで言う分数とは言わば記号のようなものであり、その実態はあくまで0.999…なのです。それを3で割ってそれに3をかけてもあくまで0.999…です。
分数は0.333…という状態を便宜的に表すために（言葉の表現が正しくないかも知れませんが）１／３という記号を使用している、と考えればよいのではないでしょうか。

分数と自然数を混同するとこのような（いい意味で）面白い錯覚に陥るのではないでしょうか。