二次関数の問題。

質問

ある問題集に、こんな問題がありました。
【x, y の間に （ｘの２乗）＋（ｙの２乗）＝１の関係があるとき、
３ｘ＋４ｙの最大値・最小値を求めよ。】
うまく解けなかったので、ヒントを見たところ、
____________________________
【ｘ、ｙが （ｘの２乗）＋（ｙの２乗）＝１を満たしながら変わるとき、３ｘ＋４ｙ＝ｋという値をとる】ことと
【連立方程式 （ｘの２乗）＋（ｙの２乗）＝１　と　３ｘ＋４ｙ＝ｋ　とが実数解をもつ】こととが同値であることを利用する
____________________________
というようなことが書いてありました。
なんで、この２つのことが同値なんですか？
そのことと、問題の解き方とがどう結びつくのか分かりませんでした。
　数学はド素人で、ただ好きで問題集を覗いているだけなので、
基本的な質問ですみませんが、どなたか分かりやすく教えてください。

回答No.1

10ken16 · ベストアンサー

線形計画法の問題です。
3x+4yの変化する値をkとおいています。
kが変化するとき、その最大最小を求めるわけです。

3x+4y＝kだけなら、傾きが-3/4の直線で、
ｋの値でグラフの位置は変わります。

でも、x^2+y^2=1の条件を満たさなくてはいけませんから、
3x+4y=kのうち、x^2+y^2=1（単位円）と共有点を持つような
ｋの範囲を求めることになります。

【ｘ、ｙが （ｘの２乗）＋（ｙの２乗）＝１を満たしながら変わるとき、３ｘ＋４ｙ＝ｋという値をとる】
これは、
「３ｘ＋４ｙ＝ｋのｘ，ｙが（ｘの２乗）＋（ｙの２乗）＝１を満たす」
と読み替えた方が分かりやすいです。

解は、直線と円が接するときですから、
判別式が０のときのkの値を求めればいいです。

図で考えられれば、ｘ：ｙ＝３：４のときですから
（ｘ、ｙ）＝±（３／５，４／５）のときであることが
容易に分かります。

お礼

は、速い！
そして、なるほど…
分かりやすいご回答、ありがとうございました。
数学って、言い換えればなるほどと思えることを、ずばっと短く表現してしまうので、
私のように頭の回転が遅いと苦労します。
すっきり明快、ありがとうございました。

回答No.3

nanase_p_q

同値と書かれると分かりにくいですね。

まず【ｘ、ｙが （ｘの２乗）＋（ｙの２乗）＝１を満たしながら変わるとき、３ｘ＋４ｙ＝ｋという値をとる】ことが前提となるのです。

ｋはもともとあった値ではなく、解くために仮に置いた変数です。

前提が正しいとすればそのようなｋも存在できるので、連立方程式に実数解が存在するというのも暗黙的に正しいと言えるのです。

これが同値であるという表現になっています。

つまり、前提である【ｘ、ｙが （ｘの２乗）＋（ｙの２乗）＝１を満たしながら変わるとき、３ｘ＋４ｙ＝ｋという値をとる】ことが正しいならば、グラフにしたときに交わる部分が出てくるということです。

お礼

ご回答ありがとうございました。
それぞれの専門用語（同値とか変数とか）は分かっても、
組み合わさると　？？？となって、理解に時間がかかる
典型的な文系の頭をしています。
でも、先にご回答くださった方々、
そして nanase_p_q さんのおかげで、
多角的な説明をいただけて納得できました。
ありがとうございました。

回答No.2

noname#56760

まず直交座標（横軸ｘ、縦軸ｙ）をご用意ください。

x^2+y^2=1は中心が原点、半径が１の円周です。
当然ですがこの円周上のどの点をピックアップして、x^2+y^2=1に代入しても常に成立します。逆に円周以外の点を代入した場合は成立しません。

>>x, y の間に （ｘの２乗）＋（ｙの２乗）＝１の関係があるとき、
とありますから、この時点で円周以外の点は無視して良いです。

そして
>>３ｘ＋４ｙの最大値・最小値を求めよ。】
とありますから、つまり円周上の点の座標を３ｘ＋４ｙに代入して最大値・最小値を求めよということです。
しかしこのままでは、最大値・最小値を求めるのは大変です。
そこで３ｘ＋４ｙ＝ｋとおいて図形的にｋは何なのかということに着目して解きます。すると３ｘ＋４ｙ＝ｋ⇔y=-(3/4)x+k/4ですから傾き-(3/4)でｙ切片k/4の直線です(これで図形に落とせます)。結局は『円周上の点をy=-(3/4)x+k/4に代入したときのｋの最大値・最小値について求める問題』ですから、『』の部分も図形処理をすると、円周と直線が共有点を持つということになります。共有点は円周状の点の座標を直線の式に代入するのと同じことを意味します。

>>【ｘ、ｙが （ｘの２乗）＋（ｙの２乗）＝１を満たしながら変わるとき、３ｘ＋４ｙ＝ｋという値をとる】ことと
【連立方程式 （ｘの２乗）＋（ｙの２乗）＝１　と　３ｘ＋４ｙ＝ｋ　とが実数解をもつ】
の
【連立方程式 （ｘの２乗）＋（ｙの２乗）＝１　と　３ｘ＋４ｙ＝ｋ　とが実数解をもつ】
は図形的に考えれば、上であげた、共有点を持つときの条件と同じです。

お礼

なるほど、２つのグラフの位置関係として捉えているからか…
よく分かりました。
文章の背後に、どんな発想があるのか、
読み取るのに苦労しています。
（典型的な文系人間なので・・・）
でも教えていただいて納得できるのって、うれしいです。
迅速なご回答、ありがとうございました。