同値関係の問題について

質問

同値関係の問題が数学の授業で出たのですが、全くできません…
わかる方いたら解説お願いできないでしょうか？

(1)(m,n),(m',n')∈N×Nに対して、mn'=m'nが成立するとき、(m,n)～(m',n')とします。このようにして関係を定義したとき、これが同値関係となることを示してください。

(2)x,y∈Zに対して、x-yが12で割り切れるとき、x～yとして、関係を定義すると同値関係になります。このときの同値類をすべて求めてください。（同値類は[x]と書く）

わかる方よろしくお願いします！

回答No.3

funoe · ベストアンサー

すでに提出期限をすぎているようなので手遅れですが
この手の基礎的な記述ができるようにしとかないと
これから1年（もっと？）つらいですよね。

1)反射律を示す
　任意の(m,n)∈N×N　について
(m,n)～(m,n)を示す。

mn=mn および「～」の定義より　(m,n)～(m,n)

2)対称律を示す
　任意の(m1,n1),(m2,n2)∈N×N　について
(m1,n1)～(m2,n2) のとき、(m2,n2)～(m1,n1) であることを示す。

(m1,n1)～(m2,n2) のとき「～」の定義より
m1n2=m2n1
したがって
m2n1＝m1n2
より、
「～」の定義より
(m2,n2)～(m1,n1)

3)推移律を示す。
任意の(m1,n1),(m2,n2),(m3,n3)∈N×N について
(m1,n1)～(m2,n2)　かつ(m2,n2)～(m3,n3)のとき
(m1,n1)～(m3,n3)　を示す。

(m1,n1)～(m2,n2)より、m1n2=m2n1
(m2,n2)～(m3,n3)より、m2n3=m3n2
辺々掛け合わせて
m1n2*m2n3=m2n1*m3n2
ここで、m2,n2∈Nより、m2,n2≠０(m2,n2≧１)でなので両辺をm2n2で割って
m1n3=n1m3　したがって　(m1,n1)～(m3,n3)

ps)ここでの自然数Ｎが0を含むのなら、推移律は成り立ちません。
　具体的には、任意の(m,n)～(0,0)になっちゃうからです。

補足

丁寧な回答ありがとうございます！
期限は過ぎましたが、勉強になるのでとても助かります。

(２)の問題も３つのことを示していけばいいのは何となくわかりますが、その先の示し方とか考え方がわかりません;；

よかったら解説お願いできないでしょうか？

回答No.2

33550336

どういうふうにと言われましても証明に決まった書き方はありませんからね…
自分の言葉で書けばいいと思いますが…
証明の道筋が頭の中で描けているのにそれができない場合、それは数学以前に国語を勉強し直す必要があります。
とはいえ慣れないとなかなかすらすら書けるようにならないのも事実です。
とりあえず補足欄に条件をどのように確かめたのか、あなたの言葉で説明してください。
自分の力で書いてみないことにはいつまでたっても新たな証明をできるようにはなりませんから。

補足

ほんとにわかっていないと思うので、的外れかもしれませんが…
(１)は、(m,n),(m',n')∈N×Nに対して、mn'=m'nが成立するとき、(m,n)～(m',n')から、反射律を満たすんじゃないかなと思います。
このあとの２つはどう示したらよいのか全くわかりません…

今日の課題提出なので、できれば詳しく解説お願いできないでしょうか？;;

回答No.1

33550336

とりあえず同値関係と同値類の定義と、どこまで考えたのかを補足欄にお願いします。
例えば（１）なら確かめることは３つありますが、どれがわからないのでしょうか？

補足

（１）だとまず、
・x∈x⇒x～x
・x～y⇒y～x
・x～y、y～z⇒x～z
を確かめればいいんですよね。
ただどういうふうに書いていいのかがわかりません。
例題などもやったことがなく、この定義を与えられていきなりこの問題だったので…

（２）も同じようなかんじで解くのかなとは思うんですが…