ナビィヴェ・ストークスの方程式の解法

質問

ナビエ・ストークスの方程式って解けるものなんですか？

差分法とか使わずに、単振動の線形微分方程式を解くかのごとく、手計算で厳密解を出したいのですが・・・（もちろん非線形微分方程式ですから線形と対比する事自体まちがっているかもしれませんが）

既存の研究ではレイノルズ数の小さいときには、定常解、非定常解ともに解の存在と一意性が証明されているらしいですが、その解を数式で記述することは可能なのでしょうか？　今は解けなくても、数十年後（未来）には解かれているのでしょうか？

もしくは既存の関数だけでの記述は不可能で、何か今までに無い新しい関数を作らないと記述できないのでしょうか？（よく知らないけど、たしかディラックのデルタ関数なんかは出た当時は革命的なものだったでしょう）

また、これらに関する最近の研究結果、論文等を知っている方、教えてください。

ＷＥＢのページ（日本語、英文以外はちょっと・・・）の紹介でもいいのですが、そのページに何が書かれていて、何が参考になるかなど書いてもらえると助かります。漠然とページを紹介されても、私は無知なんでそのページが何なのか理解できない事があります。

　あと、質問内容自体、専門の方から見れば用語の取り違いとかあるかもしれませんが、質問の意味は伝わってますよね。私は一般人なのでそのへんは勘弁ください。

回答No.3

siegmund · ベストアンサー

物理屋の siegmund です．
流体力学は専門じゃないし，zuri1000 さんは
> 実は、これくらいのページなら結構読んだ上でｇｏｏに書き込んだんですよ。
とのことですから，お役に立つかどうかはわかりません．
私の知識も多分古くなっているところもあるでしょうし．

一般的に解くのは不可能と思います．
> もしくは既存の関数だけでの記述は不可能で、
> 何か今までに無い新しい関数を作らないと記述できないのでしょうか？
関数の数は無数にあるわけですから，今まで扱われたことがない関数という意味なら
そうかもしれません．
ある境界条件や流れ場に対してこれこれの関数が厳密な解になっていることがわかり，
この関数は今まで調べられたことがない関数であるというなら，
それは既存の関数ではなくて，zuri1000 関数などと名付けられるべき新しい関数ですね．
ただ，ディラックのデルタ関数とはちょっと意味が違うように思います．
デルタ関数は，通常の意味での関数(function)ではなく，超関数(distribution)です．
既存の関数でない，というよりは，関数の概念を拡張したものでしょう．

chukanshi さんご紹介の
http://irws.eng.niigata-u.ac.jp/~chem/itou/fl/fl4.html
を見ますと，
> これまで簡単な流れ場と境界条件に対し70程度の厳密解が示されているのみである。
と書いてあります．
７０もあるなんて，全然知りませんでした．

ある流れ場と境界条件で厳密解があったとしても，
それが実現される解かどうかは別だというのも面倒なところです．
例えば，ポアズイユ流は厳密解ですから，すべてのレイノルズ数 R に対して
成り立ちます．
ところが，R が 1000 位になるとポアズイユ流が現れず，解は乱流になってしまいます．
多分，高レイノルズ数では非定常解の方が安定で，
しかも非定常解が多数あるのでしょう．
これらの集合が乱流になっているのだと思います．

書いているうちに，だんだん自信がなくなってきた．

お礼

評価が遅れてしまい、すいません。海外に出張していたもので・・・siegmundさん、いつも御回答くださりありがとうございます。
そうですか、やはり一般に解くのは不可能ですか。うすうす感づいてはいましたが、やはり誰かにそういってもらえるとチョット安心します。でもやはり誰も解いていないものには興味がそそられてしまいます。フェルマーの定理のように数百年後には解かれているのかなぁ～？不思議です。

回答No.2

chukanshi

参考になりそうなページを並べておきます。
ナビエ・ストークスの方程式の基本解説。
http://homepage1.nifty.com/t-akiyama/kenkyu/k12.html
ナビエ・ストークスの方程式の解について。
http://irws.eng.niigata-u.ac.jp/~chem/itou/fl/fl4.html

最近数値計算（コンピュータ）で解くのが流行っていますが、
ちょっとそちらはあまりいいのが見つからずすみません。

お礼

さっそくのご回答ありがとうございます♪
ん～、標準的な内容のページですね～。実は、これくらいのページなら結構読んだ上でｇｏｏに書き込んだんですよ。流体力学ハンドブックですか。流体屋さんのバイブルですね。できればお金をためて購入したい本です（どーせ読まないだろうけど、部屋のインテリアに・・・）。
もう少しいろんな人達からの意見が聞きたいですね～。も少し待ってみます。

回答No.1

chukanshi

Navier-Stokes 方程式の一般解は求められていませんが、ある種の特解は厳密解としてもとめられています。
下記の本は図書館で見つけてお読みになってみればいかがでしょうか？
http://www.maruzen.co.jp/home/pub/ryutai/pub-ryutai-j.html

参考URL：

http://www.maruzen.co.jp/home/pub/ryutai/pub-ryutai-j.html