線形非同次微分方程式の解法について

質問

線形非同次微分方程式の一般解は
　同次方程式の一般解＋特解
で求められるそうですが、何故、このようにして求められるかが分かりません。分かる方がいましたら教えてください。

回答No.1

keyguy · ベストアンサー

微分方程式
y"(x)+f(x)・y'(x)+g(x)・y(x)=h(x)・・・(0)
において
y0"(x)+f(x)・y0'(x)+g(x)・y0(x)=h(x)・・・(1)
とすると
(0)-(1)から
(y(x)-y0(x))"+f(x)・(y(x)-y0(x))'+g(x)・(y(x)-y0(x))=0・・・(2)
もし
y"(x)+f(x)・y'(x)+g(x)・y(x)=0・・・(3)
の一般解がy1(x)だとすると
y(x)-y0(x)=y1(x)が(2)の一般解である
すなわちy(x)=y0(x)+y1(x)である
これ以外の(0)の解があるとすればy1(x)が(3)の一般解であるということに反するのでy0(x)+y1(x)は(0)の一般解

お礼

返事遅れて申し訳ございません。そういうことだったんですね。ありがとうございます。

回答No.2

mmky

参考程度に
簡単には、例えば
y"＋P*y'+Q*y=R 　--- (1)
(1)の一つの特別解をη, (１)の一般解をyとして
y-η=u と置けば、y=u+η
これを(1)に代入すると、
{u"＋P*u'+Q*u}+{η"＋P*η'+Q*η}=R
ところが、ηは特別解故、{η"＋P*η'+Q*η}=R
は明らかなので、{u"＋P*u'+Q*u}=0 である。
つまり、u　は（１）の補助式
ｙ"＋P*y'+Q*y=0　の解である。
だから、言い換えれば、
線形非同次微分方程式の一般解ｙは
同次方程式の一般解u＋特解η
になるのです。

お礼

返事遅れて申し訳ございません。言われてみると、簡単に分かることなんですね。ありがとうございます。