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２個おきの足し算で表せない自然数の集合
例えば ５＝１＋４ のように２個おきの足し算で５は表せます。 ところが、 １＝？ ２＝？ ３＝？ ４＝？ ６＝？ となってこれらは２個おきの足し算では表せません。 そして、それらの数に注目するとある予想が立てられました。 『その数がｘとするとｘの２倍も存在する。もしなければそのｘの半分の数が存在している。』 例えば３が集合の要素にあると、その２倍の６も集合の要素になっています。逆に６に先に注目するとその２倍は１２になりますが、１２＝１＋４＋７と２個おきの足し算で表せられるので集合の要素になりません。しかし、その半分の６は２個おきの足し算で表せないことは確認しておきました。ゆえに上記の予想に反しません。 この予想を証明、あるいは反証できないで困っています。 どなたか教えてください。
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また訂正です。 最後の「○、□、△、▽より、2個置きで表せない数は 2^n、あるいは2^n*p(ただしpはp≦3*2^(n+1)+1あるいは2^(n+1)≦3p+1を満たす)のいずれかであることがわかりますので、問題の予想は正しいことがわかります。」 は 「○、□、△、▽より、2個置きで表せない数は 2^n、あるいは2^n*p(ただしpはp≦3*2^(n+1)-1かつ2^(n+1)≦3p-1を満たす)のいずれかであることがわかりますので、問題の予想は正しいことがわかります。」 の誤りです。
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- ryn
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No.3 は勘違いでした． 質問の集合を A とすると，A に含まれない数は 正の整数 m,n を用いて (n+1){(3/2)n + m} と書けそうです． とりあえず，100以下の 1,2,3,4,6,8,10,14,16,20,28,32,44,52,56,64,68,76,88 については正しいようですね．
お礼
ありがとうございます。 その式は等差数列の和の公式から出したのですか？
No.5の方へ。 個人的な解釈ですが １から始めなくても良いのではないかと思います。 (例えば7=2+5,13=5+8,26=2+5+8+11) 予想が正しいに一票。証明考えてみます。
お礼
ありがとうございます。証明お願いします。
問題をもっと正確にのべてほしいです。 足し算は１から始めるのか、それとも３＋６＝９のような 数はどうなのかです。 質問の式は１から始めているが、そういう解釈でＯＫ？ それなら 13 も 26 も和で表せないので反例には ならないですね。（11ならなる） 等差数列の和を考えればいいのではないでしょうか。
補足
失礼しました。足し算は１からでなくともよいです。２＋５＋８や６＋９＋１２＋１５もＯＫです。 等差数列の和を考えはしたのですが、どうやったらよいのかがわかりません。 連続数の和であらわせない数の集合や１個おきの数の和であらわせない数の集合は等差数列の和の考えが役に立ったのですが...
＞「x∈A ⇒ 2x∈A または x/2∈A」 そういう意味だったんですか… やっぱり勘違いでしたね。 でも、13∈Aではないような?
お礼
これからもご協力お願いします。
- ryn
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No.2 の解釈でよいなら x=13 が反例ではないでしょうか．
補足
１３＝５＋８と２個おきの足し算で書き表せます。 ゆえに１３は「書き表せない」集合の要素ではありません。だから１３が集合の要素ｘになることはないと思われます。
- ryn
- ベストアンサー率42% (156/364)
命題は 「x∈A ⇒ 2x∈A または x/2∈A」 ということでしょうか？
補足
だいたいそういう意味ですね。 ただ「または」というのは排他的論理和でなく、両方あってもよいという意味での普通の論理和だと思ってください。
勘違いしてたらすみません。 「６は集合の要素にあるがその2倍の１２は要素にならないので『その数がｘとするとｘの２倍も存在する。』に矛盾。以上」
補足
６の場合、２倍の１２は要素にないが、半分の３があるので矛盾にはならないと思います。 『ｘがあるとするとその２倍か半分の"少なくとも"どちらかがある』ということですから。
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お礼
回答ありがとうございます。p(素数)は p≦3*2^(n+1)-1 2^(n+1)≦3p-1 を同時に満たしているということですね。 ここから2倍か半分が存在するということは確かなのですか？
補足
問題に対する興味が薄らいできたので、わかったことにします。私自身がこのような証明をできるようになりたいと思いました。