光伝搬の波動方程式の導出方法について教えて下さい。

質問

∇^2H-1/c^2 ∂^2H/∂t^2 = -∇×J

上式の導出方法を教えて下さい。
アンペールの法則の両辺のrotをとって導出するようなのですが、どうもよくわかりません。

よろしくお願いします。

回答No.2

rnakamra · ベストアンサー

導出の前提として以下のことが必要です。

・真空中であること。
少なくとも等方的であり、
D=εE (1)
B=μH (2)
としてεとμがともにスカラーであること。
(一般的にε,μはテンソルである)

この条件のものと、Maxwell方程式の4つの式の微分形のうち次の3つを使います。

∇×H=j+∂D/∂t (3)
∇・B=0 (4)
∇×E=-∂B/∂t (5)

さらに次のベクトル解析の公式を使用します。
∇×(∇×A)=∇(∇・A)-(∇^2)A (6)

(3)の両辺のrotをとります。つまり左から∇×を作用させます。
∇×(∇×H)=∇×j+∇×∂D/∂t
左辺を公式(6)を使い変形、右辺の第2項の微分の順番を入れ替えます。
∇(∇・H)-(∇^2)H= ∇×j+(∂/∂t)(∇×D)
左辺の第1項に(2)をH=に書き換えたものを代入、右辺の第2項のDに(1)を代入。
(1/μ)∇(∇・B)-(∇^2)H= ∇×j+ε(∂/∂t)(∇×E)
左辺の第1項は(4)から"0ベクトル"となり、右辺の第2項は(5)を代入します。
-(∇^2)H= ∇×j-ε∂^2B/∂t^2
右辺の第2項に(2)を代入、あとは移行とεμ=1/c^2と置き換えると求める式が得られます。

お礼

とてもわかりやすくて大変参考になりました。
ありがとうございました。

回答No.1

spring135

下記url参照

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9E%E3%82%AF%E3%82%B9%E3%82%A6%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%81%AE%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F