Abel Summation

質問

久しぶりに投稿させていただきます。今回はAbel Summation の問題でご意見を伺いたいと思います。問題は：

もし

Σ(k=0 to infinity) Ak = L

であるとすれば、

lim(r-->1-) Σ(k=0 to infinity) Akr^k = L

であることを証明せよ。 [lim(r-->1-) はｒが左側から１に接近するリミットです]

相変わらずの数学音痴で困っています。

|r|<=1 であるならば

Akr^k <= Ak が全てのｋについて正しいので

lim(r-->1-) Akr^k = Ak が全てのｋについて正しい。

よって

lim(r-->1-) Σ(k=0 to infinity) Akr^k = Σ(k=0 to infinity) Ak = L

としたんですが、あまり（というか全く）自身がありません。どなたかご意見をお聞かせください。よろしくお願いします。

回答No.1

grothendieck · ベストアンサー

lim(r-->1-) Akr^k = Ak
より
lim(r-->1-) Σ(k=0 to ∞) Akr^k = Σ(k=0 to ∞) Ak

とするとこは

lim(r-->1-) Σ(k=0 to ∞) Akr^k
= Σ(k=0 to ∞) lim(r-->1-) Akr^k

としているのでlim(r-->1-) とΣ(k=0 to ∞)の極限の順序を交換しているのです。これが無条件に成り立たないことは例えば

Bk = (-r)^k　 ( 0≦r<1 )
とすると
　 lim(r-->1-) Σ(k=0 to ∞) Bk = 1/2
Σ(k=0 to ∞) lim(r-->1-) Bk は収束しない

となることから分かります。問題の級数の場合は一様収束するのでアーベルの判定条件よりlim(r-->1-) とΣ(k=0 to ∞)の順序が交換できることが言えるのです。アーベルの定理は例えば
　楠木幸男「無限級数入門」
や他にも書いてある本はあると思います。

お礼

返事が遅くなりましたが、回答どうもありがとうございました。