数列に関する質問

質問

正の数a1,a2,a3....an に対して次の不等式が成り立つ。

a1・1/a1≧1　
(a1+a2)・(1/a1+1/a2)≧4
(a1+a2+a3)・(1/a1+1/a2+1/a3)≧9

(1)
ここから一般にn個の整数に対して、成り立つ式を推測しなさい。
(2)
上式を数学的帰納法にて証明せよ

という問題ですが
(1)に関しては
[ｒ=1→(n)]Σar・[ｒ=1→(n)]Σ1/ar≧n^2
≧n^2
と考えたのですが・・(2)がよくわからない

n=1のときは右辺1　左辺1で成り立ちます
n=kのときに成り立つとして
([ｒ=1→(k)]Σar+ak+1)・([ｒ=1→(k)]Σ1/ar+1/ak+1)から
([ｒ=1→(k)]Σar・[ｒ=1→(k)]Σ1/ar）+([ｒ=1→(k)]Σak+1/ar+ar/ak+1)+1
という所までは考えたのですが(式中のk+1は添字です）
このあとが続きません
式中の
([ｒ=1→(k)]Σak+1/ar+ar/ak+1の部分が≧2kと証明できれば
k^2+2k+1から(k+1)が成り立つと証明できそうなんですがわかりません
どなたか回答頂けないでしょうか

回答No.2

noname#133363 · ベストアンサー

今考えてる和の各項は、正数αについて
α + 1/α
という形。
αと1/αの少なくとも一方は1以上。
1以上であるものはあるt≧0によって1+tと表せる。
α + 1/α
=(1+t) + 1/(1+t)
≧2 + t^2/(1+t)
≧2。

お礼

回答いただきありがとうございます
やっと理解できました。

回答No.1

under12

このあたりを参照したほうがいいかも
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B9%B3%E5%9D%87

お礼

回答頂きありがとうございます。
参照してみます。