置換積分

質問

置換積分で
dt/dx=sinxとかなった時、
dx=dt/sinxと出来るのでしょうか？
こういうときはsinx≠0を確認しないと出来ないのでしょうか？

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

置換積分で使える関数というのは、「積分範囲の中で」
入力に対して出力が「一方向に」「滑らかに」変化しないと
だめなんですよ。質問だと

∫f(t)dt があって t(x) = -cosx という話なんでしょうか？

とすると dt(x)/dx = sinx だから、微分の符号が変化しない (0, π)とか(-π, 0)
などの範囲で置換積分可能です。

だから、積分範囲を限定しない不定積分だったらこういう置換積分は不可能です。

回答No.1

noname#201346

置換積分というのは変数変換して積分の計算を実行することです。

∫[u→v]f(t)dt=∫[a→b]f(φ(x))φ'(x)dx

a<x<bなる任意のxについてφ'(x)≠0でなければそもそも変数変換ができません。

お尋ねの例ではφ(x)=-cosxですが、(d/dx)cosx=0となるxがa<x<bの範囲にあってはマズイのです。

置換積分する条件をみたすような変数変換φが見つかったらもうφ'(x)は0にならないので0除算を気にする必要はありません。変数変換φが見つかったのにφ'(x)が0になるか調べるというのは二度手間で無意味です。

φ'(x)が0になるかどうかというのはdx=dt/sinxとしたいときに確認するのではなく、φを決めるときに確認するのです。

変数変換できる条件を教科書でしっかり理解してください。