積分問題を解いて下さい。

質問

以下の問題は早急に解きたいんですが、積分の仕方を忘れてしまい、解く事ができません。部分積分すると思ったのですが…。どなたか解いて頂けませんか？
(1)∫(1-k^2sinφ^2)＾(1/2)　dφ　　　と、
(2)∫1/[(1-k^2sinφ^2)^1/2]　dφ
の二問です。
よろしくお願いします。

回答No.3

brogie · ベストアンサー

また、間違いました、被積分関数をMaclauin展開してください。
ご存知と思いますが、一応公式を書いておきます。

マクローリン展開（テイラー展開）は
f(x)＝f(0)+f'(0)x+f''(0)/2*x^2+f'''(0)/3!*x^3+...
です。

+と-を間違えていたようです。

(1+x)^1/2＝1+x/2-(x^2)*(1*1)/(2*4)+(x^3)*(1*3)/(2*4*6)-.....

1/(1+x)^1/2＝1-x/2+(x^2)*(1*3)/(2*4)-.....

x＝-(ksinφ)^2を代入して、各項積分です。

もう！自信なしです。

m(__)m

お礼

計算の細かいところまで教えて頂き、
ありがとうございました。
後は、何とか積分を頑張って近似値を出していきたいと思います。

回答No.5

siegmund

> 積分さえできれば後は代入するだけですよね？
> 積分の解を算出して頂けないでしょうか？

No.4 の回答に書きましたように，
初等関数(の組み合わせ)では楕円積分は表現できません(k=0,1 の場合を除く)．
もちろん，a,b,c が決まれば k とαは確定して楕円積分の値も確定，
表面積も決まります
しかし，その楕円積分の値とk,αの関数関係が初等関数の組み合わせでは
表現できないと言うことなのです．

なお，0≦α≦2 と書かれていますが
a≧b≧c で α=sin^{-1}√(1-c^2/a^2) ですから
0≦α≦π/2 ですね．
ミスプリかも知れませんが，念のため．

お礼

ありがとうございました。
よく理解できていませんでした。
近似値は得られるということですよね？
何とか積分頑張ってみます。

回答No.4

siegmund

> 回転楕円体の表面積の公式に使われているものです。

回転楕円体の表面積ならこの楕円積分は k=1 の場合になりますので，
簡単な積分に帰着されます
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=191215
の私の回答(No.4)，および Qtaro35 さん(No.3)ご紹介の
http://www.asahi-net.or.jp/~jb2y-bk/math/daenmen.htm
をご覧下さい．
一般の楕円体の表面積なら k≠1 の楕円積分が現れます．

積分範囲がφ=0 からφ=θまでのとき，楕円積分(結果は k とθの関数)，
積分範囲がφ=0 からφ=π/2までのとき，完全楕円積分(結果は k の関数)，
と称しています．
後者の場合を単に楕円積分という場合もあるようです．
brogie さんの
> ０～1/πまでの定積分の場合、
はミスタイプでしょう．

第１種，第２種の区別は brogie さんの書かれているとおり．
完全楕円積分でも，k=0,1 以外の場合は初等関数で表現できないことが
知られています．

補足

実は以下のURLを参考に、一般の楕円体の公式を見て、解が知りたくて質問させて頂いたのです。
URL:http://www.asahi-net.or.jp/~jb2y-bk/math/daenmen.htm
その公式の中のk＾2とαについては算出してあり、k^2＜1と0≦α≦2となりました。積分さえできれば後は代入するだけですよね？

甘え過ぎだということは十分承知しているのですが…、積分の解を算出して頂けないでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.2

brogie

御免なさい、間違いました。つぎの式が正しいです。

(1-x)^1/2＝1+x/2-(x^2)*(1*1)/(2*4)+(x^3)*(1*3)/(2*4*6)-.....

1/(1-x)^1/2＝1-x/2+(x^2)*(1*3)/(2*4)-.....

この式のxに(ksinφ)^2を代入して、各項別に積分して下さい。
上の式は１を除いて、Σを用いて書くことも出来ます。

回答No.1

brogie

おはよう御座います。
級数に展開して、積分するのですが、０～1/πまでの定積分の場合、楕円積分になります。ただし、k^2<1。(1)を第2種完全楕円積分、(2)を第1種完全楕円積分です。

被積分関数の展開は、つぎの式を使うと良い。

(1+x^2)^1/2＝1+x/2-(x^2)*(1*1)/(2*4)+(x^3)*(1*3)/(2*4*6)-.....

1/(1+x^2)^1/2＝1-x/2+(x^2)*(1*3)/(2*4)-.....

これをそれぞれ積分すると良いでしょう。

補足

おはようございます。
確かにこの積分式は、回転楕円体の表面積の公式に使われているものです。
ところで、回答頂いた式には　sin＾2(φ)がありませんが、使わなくてもよいのでしょうか？