平方根の方程式について

質問

x-1=√5+x/2 (右辺は分母子共に√に入っています）の解き方を教えて下さい。右辺の扱い方がわからず、困っています。宜しくお願い致します。

回答No.4

STI-since2007

x - 1 = √(5 + x/2)
x - 1 = √(5 + x) / √2
　分母を有理化して，
x - 1 = √(5 + x)×√2 / √2×√2
x - 1 = (√10 ＋ √2x) / 2
　両辺を2倍して，
2x - 2 = √10 + √2x
　移項して整理すると，
2x - √2x = 2 + √10
　左辺を共通因数xでくくり，
x(2 - √2) = 2 + √10
　両辺を(2 - √2)で割って，
x = (2 + √10)/(2 - √2)
◎右辺の分子・分母それぞれに(2 + √2)をかけて，
x = (2 + √10)(2 + √2)/(2 - √2)(2 + √2)
　右辺の分子・分母をそれぞれ展開して，
x = (4 + 2√2 + 2√10 + 2√5)/(4 - 2)
x = (4 + 2√2 + 2√10 + 2√5)/2
　よって答えは，
x = 2 + √2 ＋ √10 + √5

　であっていると思います。間違っていたら補足してください。

　なお，質問者様がわからないのは多分◎をつけた部分だと思います。

　分母が平方根を含む多項式になっている場合は，次の例のように有理化できます。

例) 1 / (√2 + 1) を有理化せよ。

　(√2 + 1)から平方根を除くことを考えます。
　ここで思い出してほしいのが，乗法公式の
　　(a + b)(a - b) = a^2 - b^2
　です。(a^2はaの２乗という意味。念のため。)

　これを利用して，
　(√2 + 1) に，(√2 - 1)をかけると，
　(√2 + 1)(√2 - 1) = (√2)^2 - 1^2 = 2 - 1 = 1
　となり，すっきりと平方根をとることができます。

回答No.3

hiuewabnx

まず、分母にルートが入っているので、有理化する。
次に両辺に同じ数をかけて整数にする。
ｘをまとめる。
両辺に同じ数をかけてｘを計算しやすくする。

てな流れでどうでしょうか

補足

ご回答ありがとうございます。その場合、私の途中式が　2x-2=√2×√5+x となり、ここから右辺の計算に行き詰ってしまいます。本当に基本的な計算すらできず、お恥ずかしい限りです。

回答No.2

debut

平方根の中は、5+(x/2)ですか？(5+x)/2ですか？

基本的には、両辺を２乗して、２次方程式として解きます。
ただし、そのとき、平方根の中は正なので5+(x/2)≧0または(5+x)/2≧0
かつ、x-1≧0という条件がつきますので、解はこの範囲で求めます。

お礼

ご回答ありがとうございます。平方根の中は、（5+x)/2　でした。両辺を2乗する、という発想自体が出て来ませんでした。すんなり解が出ました。どうもありがとうございました。

回答No.1

sak_sak

基本的に両辺を二乗します。
(x-1)^2=5+x/2…(1)
これを解いてください。

さて、ここからが√の面倒なところです。
√の中は0以上でないといけないので、5+x/2≧0…(2)
x-1=√…となっていますが、右辺は0以上なのでx-1≧0…(3)

(1)の解を(2),(3)で吟味して終了です。

お礼

ご回答ありがとうございます。両辺を2乗する、という発想自体が出て来ませんでした。2乗すると、すんなり解が出ました。どうもありがとうございました。