微分方程式 半球の問題

質問

微分方程式の問題で悩んでいます。これは学術図書出版社の定松隆、猪狩勝寿先生の書かれた「微分方程式の解法」という本に載っていた問題です。
「半径Rの半球の容器に水が満たされている。そこに穴が開いていて水位に比例して水が流れ始める。水が穴から流れ始めてから水がなくなるまでの時間を求めよ」
私は、回転体の体積の積分公式を利用して、
(x-R)~2+y~2=R~2を0からx(t)まで回転体の積分を行い、
Rx(t)~2-1/3*x(t)~3
という体積の式を作りました。
Δtの間に体積は
Rx(t)~2-1/3*x(t)~3-{Rx(t+Δt)~2-1/3*x(t+Δt)}
だけ穴から水が出ると考え、この式とkx(t)Δtを等号で結びました。
ところが、解答には
「容器の底を原点に、垂直上方を正の向きにとる。時刻tの水位をx(t)とする。水位がxの時、水面の半径をrとすると、R~2=(R-x)~2+r~2.時刻tからt+Δtの間に減った水の量は

πr~2(x(t)-x(t+Δt))=π(2Rx-x~2)(x(t)-x(t+Δt)) (1)
一方、流れ出した水の量はkx(t)Δt.この結果方程式は
(2R-x)dx/dt=-k/π」
となっています。
ところが、よく見てみると、(1)の式において、左辺が円柱の式になっているように見え、どうしてこの式が成り立つのかで詰まってしまいました。
この問題はどのように考えればよいのでしょうか？ご助言をお願いいたします。

回答No.2

endlessriver · ベストアンサー

あなたの考えは正しいです。
＞Δtの間に体積は
＞Rx(t)~2-1/3*x(t)~3-{Rx(t+Δt)~2-1/3*x(t+Δt)}
これを計算すると2次以下の微少を無視すると円柱の体積になるはずです（x(t+Δt)→x^3(t+Δt)のミス）。

すなわち、あなたは水位x(t)までの体積を求めるため、微少の円柱を積分してから、再び、体積の減少を求めるため、体積を微分して微少の円柱に戻しているのです。

したがって、x=>x+1=>x-1>=x　のような計算無駄をしているだけなのです。

回答No.1

SortaNerd

これはΔtが入っていることから、円柱は円柱でも微小円柱となっています。小文字の方のrは変数ですのでこの式をdtに対して積分すれば球の体積となります。