広中杯2003 3-(1)の問題について

質問

問題の図を正確に書くと正解のように６°になりそうですが、今ひとつ補助線がうまく引けません
AからBCに平行線を引いてみたり
ADEが正三角形になるようにEをとってみたりはしたのですが、3-(2)は以前に質問があった様ですが(1)に付いても、ご教授下さい。
<問題＞　解答は6°
凸四角形ABCDにおいてAC=AD、DB=DC、∠BDC=36°
∠ADB=30°、∠ACB=6°このとき∠BACの角度を求めよ

回答No.1

eatern27 · ベストアンサー

3-(2)と全く同じ解き方でいけますね。

三角形DBCは36°,72°,72°の二等辺三角形なので、正五角形を考えます。
つまり、五角形DEBCFが正五角形となるように点E(と点F)をとります。

すると、三角形ABEが正三角形になりますので、この後は、割と簡単に∠BACが求まります。

補足

早速のご回答ありがとうございます。
実際、説明のように図を書きました。
最後、もう一点教えていただきたいのは
三角形ABEがなぜ正三角形になるか、についてです。
ABCDEが線対称なので、三角形AEBが二等辺三角形になるのは納得できるのですが、理解力不足で申し訳ありませんが
よろしくお願いします。

回答No.3

eatern27

#2です。訂正です。

(誤)
＞三角形A'BCが正三角形となるように、点A'を(BEに関して、C,Fと反対側に)とります。

(正)
三角形A'BEが・・・

失礼しました。

回答No.2

eatern27

＞三角形ABEがなぜ正三角形になるか、についてです。

前の回答の時もしばらく考えたのですが、与えられた条件から三角形ABEが正三角形になることを直接示す方法は浮かびません。

なので、天下りっぽい証明で、ご勘弁を。

正五角形DEBCFを考えて、
三角形A'BCが正三角形となるように、点A'を(BEに関して、C,Fと反対側に)とります。

この時、凸四角形A'BCDにおいて
「A'C=A'D、DB=DC、∠BDC=36°、∠A'DB=30°、∠A'CB=6°」
が成り立つ事は割と簡単に確認できると思います。

「」内の式をよく見ると、問題で与えられている条件のうち、点Aを点A'に書き換えたものです。

なので、点A=点A'となります。(問題に与えられている条件を満たす点Aは１つしか存在しないので)
A'の取り方から、三角形ABEが正三角形である事が分かります。

(ふと気付きましたが、点A=点A'が分かった段階で、∠BAC＝∠BA'C＝6°がすぐに分かりそうなので、わざわざ三角形ABEが正三角形である事を示す必要はないかも・・・)

お礼

ありがとうございます。ただやっぱりそうか、という感じで、６°という特殊な角をとって正三角形であることを示すには三角関数のお世話になりそうです。
そこまでむきになって手順を追うほどでも（中学数学からは離れてしまいますし）ないようですので、納得しました。