円に内接する四角形（小学５年への説明、再掲）

質問

昨日
小学５年生への説明
http://okwave.jp/qa/q8517455.html

という質問があり、僕が「禁じ手」の「対角の和が 180°」を使ったのに、ベストアンサーを頂いてしまった Q&A です：

　小学５年生の生徒に説明したいのですが
「凸四角形ABCDにおいて、∠ADB=∠ACBならば∠ACD=∠ABDを示せ」
という問題ですが、円周角の定理とか相似を使わずに、補助線と角の計算、合同などで
なるべく簡単に証明できないでしょうか。

その後の質問者さんの補足で：

探していた方法が見つかりました。
「四角形ＡＢＣＤにおいて辺ＡＤとＢＣが平行でないとき、その延長の交点をＸとして、△ＤＸＢと△ＡＸＣで、２つの内角の和が外角に等しいことを使う。ＡＤとＢＣが平行のときは自明」

とあり、確かに AD と BC が平行な時は台形ですので自明というのわかりますが、AD と BD を延長し、交点を X とした時の解き方、わかりませんでした（かまととでなく）

どなたか解説お願いします

回答No.2

usaginotawagoto · ベストアンサー

お礼読みました。

そうですよね笑
自分でも、仮定していいものか、その体で話を進めていいものか、と思いながらも進めてしまいました。一応、仮定したとすると、各三角形の180度が成り立つことと（円周角となる）それぞれの角が等しいことが証明できる、反対に考えれば求められている角が等しくないとそういった証明ができないのではないか、ということだけは言えると思います。質問者様の求めた正解ではないですが、参考までに。

お礼

その後、自力で解決を試みましたが、挫折しました

他に回答ないし、締め切ります

回答No.1

usaginotawagoto

正しいかどうかはわかりませんが。
（※正しい証明として書いているわけではないので、証明としての書き方には誤りがあると思います。）

(1)条件：∠ADB＝∠ACB

頂点B、頂点Dをつなぐ直線を引き、□ABCDを△ABDと△CBDに分けて考える。
三角形の角の和は180度なので、
示すことを求められている∠ACD＝∠ABDが既にそうだと仮定（(2)）すると、
(3)△ABD：∠BAD＋∠ABD＋∠ADB＝180度
(4)△CBD：∠CBD＋∠CDB＋∠BCD＝180度

(1)(2)(3)(4)より、∠BAD＝∠CBD＋∠CDB　(5)

前回の質問者様の補足より、「四角形ABCDにおいて辺ADとBCが平行でないとき、その延長の交点をＸとして、△DXBと△AXCで、２つの内角の和が外角に等しいことを使う」と、
(6)∠DBX＝∠CAX　（(1)と∠BXD＝∠AXC（共通）より）

よって、∠BAD中の∠CAD＝∠CBDなので、
(5)(6)より∠BAC＝∠CDB　(7)

上の補足のように、四角形ABCDにおいて辺ABと辺DCが平行でないとき、その延長の交点をYとして、△AYCと△DYBで、２つの内角の和が外角に等しいことを使う。
∠AYC＝∠DYB（共通）　(8)

(7)(8)と「２つの内角の和が外角に等しい」より、∠ACD＝∠DBA（∠ABD）

お礼

回答ありがとうございます。でも、

＞　示すことを求められている∠ACD＝∠ABDが既にそうだと仮定

示すことを求められているのを、そう仮定するのに違和感ありました